Таблица неопределенных интегралов
Таблица неопределенных интегралов
Неопределённый интеграл
| Первообразная
|
| Неопределённый интеграл
| Первообразная
| ;
|
|
|
|
| ;
|
|
|
|
| ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методы интегрирования
- Интегрирование по частям:
, где и - Интегрирование простых дробей:
2.1. , где А, а – вещественные числа
2.2. , где А, а – вещественные числа; к=2, 3, 4, …
2.3. , где M, N, p, q – вещественные числа
, где .

2.4. , где M, N, p, q – вещественные числа; m=2, 3, 4, …
,
Где - рекуррентная формула
- Интегрирование правильных дробей:
- правильная рациональная дробь Если знаменатель разложен на простые множители , то исходную дробь можно представить в виде суммы простых дробей:
, где - неопределенные коэффициенты. Для их определения все дроби приводят к общему знаменателю , а затем приравнивают в числителе коэффициенты справа и слева при одинаковых степенях x .
- Интегрирование неправильных дробей:
- неправильная рациональная дробь; интегрирование неправильных дробей сводится к интегрированию правильной дроби путем выделения целой части , т.е.: , где - многочлен. - Интегрирование простейших иррациональностей:
, где r, s – рациональные числа. Применяется метод рационализации подынтегрального выражения с помощью замены: , где m – наименьший общий знаменатель показателей r и s . - Интеграл от дифференциального бинома:
, где a, b – постоянные; m, n, p – рациональные числа. Используется метод рационализации подынтегрального выражения по теореме Чебышева:
6.1. Если p – целое число, то применяется подстановка , где s - наименьший общий знаменатель дробей m и n.
6.2. Если – целое число, то применяется подстановка , где s - знаменатель дроби p.
6.3. Если – целое число, то применяется подстановка , где s - знаменатель дроби p.
7. Интеграл вида рационализуется с помощью подстановок Эйлера:
7.1. Если , то применяется подстановка , откуда 
7.2. Если , то применяется подстановка 
7.3. Если , где и - различные действительные корни квадратного трехчлена, то применяется подстановка 
8. Интегрирование тригонометрических функций:
8.1. Интеграл вида реализуется с помощью универсальной подстановки: . Тогда 
8.2.1. Если функция нечетная относительно синуса, то применима подстановка: . Тогда .
8.2.2. Если функция нечетная относительно косинуса, то применима подстановка: . Тогда .
8.2.3. Если функция четная относительно синуса и косинуса, то применима подстановка: . Тогда .
8.3. При интегрировании произведений синусов и косинусов используются следующие тригонометрические формулы:
; ;

8.4. Вычисление интегралов вида 
8.4.1. Если m – нечетное положительное целое число, то применима подстановка: ; .
Если n – нечетное положительное целое число, то применима подстановка: ; .
8.4.2. Если m+n – четное отрицательное целое число, то применима подстановка: ; .
8.4.3. Если m и n – четное неотрицательные числа, то применимы формулы понижения порядка:
; 
9. Интегрирование гиперболических функций:
При интегрировании гиперболических функций применяют следующие формулы:
; ; ;
|