Основные формулы и теоремы.. Основные оригиналы и их изображения.

Основные формулы и теоремы.

Изображением функции по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством

Основные оригиналы и их изображения.

1) , ; 5) , ;

2) , ; 6) , ;

3) , ; 7) , .

4) , ;

Теорема подобия. Если и действительное число , то

Теорема запаздывания. Если и при оригиналы, то при имеем

Изображение периодического оригинала. Если оригинал является периодической функцией с периодом а, т. е. , то изображение такой функции находится по формуле:

и определено в области .

Теорема смещения (затухания). Если , , то при любом комплексном а

, .

Изображение производной (дифференцирование оригинала). Если является оригиналом, причём , и существуют производные , являющиеся оригиналами, то изображение находится следующим образом:

где правые предельные значения функции и её производных в точке .

Операторное уравнение. Если

то

или

Дифференцирование изображения. Если , то

причём, второе из этих равенств справедливо в той же полуплоскости, что и первое.

Свёрткой двух функций и называется функция, определённая следующим равенством:

Умножение изображений. Если , , то

или .

Интегрирование оригинала. Если , то

или .

Теорема обращения. Если и является дробно-рациональной функцией со степенью числителя, меньшей степени знаменателя и знаменатель имеет корни кратности , то оригинал определяется по формуле:

Если , то оригинал можно найти, пользуясь равенством:

При отыскании частного решения дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями часто применяется формула Дюамеля.

Формула Дюамеля. Пусть , , ‑ оригиналы и , , тогда имеет место формула

или

Пусть теперь нужно решить уравнение

с нулевыми начальными условиями: .

Составим вспомогательное уравнение с такими же коэффициентами и с правой частью, равной единице: , .

Можно доказать, что если, как обычно, обозначить , , , то функции и связаны соотношением . Из этого соотношения следует, что . Применяя формулу Дюамеля и учитывая, что , получаем искомое решение в виде или .