Задачи к модулю ЧК МИФ 3 1 01 04 L3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Задачи к модулю ЧК МИФ 3 1 01 04 L3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

1.1.Электрическое поле точечного заряда уменьшается при удалении от него. Не противоречит ли этому факту известный результат, свидетельствующий о независимости величины напряженности поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, от расстояния до нее ( Ведь это поле является суммой полей точечных зарядо)?

1.2.Кольцо радиусом R равномерно заряжено по его длине зарядом Q. Найти напряженность электрического поля и потенциал на прямой, проходящей через центр кольца и перпендикулярной его плоскости. Постоить графики зависимостей оказанных величин от расстояния до центра еольца.

1.3.Рассчитать потенциал и электрическое поле, создаваемые равномерно заряженной сферой, во всех точках пространства (внутри и вне нее).

Указание.В случае ограниченного в пространстве распределения заряда целесообразно начинать расчет с нахождения потенциала, после чего определить напряженность электростатического поля, вычислив градиент от найденного потенциала.

1.4.Если равномерно заряженный по поверхности шар распилить на две половинки по экватору, то в каждой точке плоскости экваториального сечения напряженность электрического поля будет ориентирована перпендикулярно этой плоскости. Доказать.

Указание. Воспользоваться принципом суперпозиции и известным решением задачи о напряженности электрического поля внутри шара, равномерно заряженного по поверхности.

1.4. Рассчитать электрическое поле и потенциал, создаваемые равномерно заряженной по длине бесконечной прямой нитью. Используя полученный результат, вычислить поле бесконечной равномерно заряженной плоскости, выполняя суммирование «по полоскам».

Указание.В данном случае бесконечного распределения заряда выбор бесконечности в качестве нулевой точки невозможен. Расчет следует начинать с вычисления поля. Интегрирование по длине нити легче выполнить, если в качестве переменной выбрать угол, под которым виден элемент нити из точки, в которой рассчитывается это поле.

1.5.Конденсатор представляет собой две параллельно расположенные на расстоянии d = 1см друг от друга квадратные металлические пластины площадью S =1 м² каждая. До какой разности потенциалов следует зарядить плоский конденсатор, чтобы расположенный в его центре электрон мог неподвижно висеть в поле земного тяготения?

Предупреждение. Как показывает опыт, правильный ответ на эту внешне очень простую задачу дают далеко не все, кто утверждает, что нашел решение…

1.6. Какую разность потенциалов следует подать на пластины плоского конденсатора («электронную пушку»), чтобы ускоренные в нем α-частицы (ядра гелия) могли бы улететь на бесконечно большое расстояние с поверхности Луны? Считать, что средняя плотность грунта Луны и Земли примерно одинакова, а ускорение свободного падения на Луне в шесть раз меньше, чем на Земле.

1.7. Равномерно заряженная полубесконечная нить перпендикулярна незаряженной плоскости и обрывается на ее поверхности. Доказать, что во всех точках этой плоскости, кроме точки касания с нитью, электрическое поле составляет с ее направлением угол π/4.

Указание. Сформулированное утверждение можно доказать, непосредственно вычислив поле в указанной точке. Однако существует и другой путь доказательства, практически не требующий вычислений...

1.8. Рассчитать потенциал и электрическое поле, создаваемые двумя параллельными равномерно заряженными разноименными зарядами бесконечными нитями, на расстоянии, существенно превосходящем расстояния между ними.

Указание. Ответ этой задачи можно записать в виде, весьма сходном с результатом, полученным для обыкновенного диполя, если ввести аналог дипольного момента для рассматриваемого «двумерного» случая.

1.9. Показать, что поверхности с постоянным потенциалом, создаваемым двумя параллельными нитями, равномерно заряженными одинаковыми по величине разноименными линейными зарядами, представляют собой круговые цилиндры.

1.10. Потенциал в центре равномерно заряженного по объему куба равен φ. Определить потенциал вершин куба. (За нуль принят потенциал в бесконечно удаленной точке).

1.11. Несколько одинаковых невзаимодействующих друг с другом частиц с зарядом q и массой m находятся на разном расстоянии от длинной равномерно заряженной с линейной плотностью заряда λ нити. Какую одинаковую скорость следует сообщить всем частицам, для того чтобы они все начали двигаться по окружностям с центрами, лежащими на нити?

1.12. Две одинаковые по массе m частицы с зарядами q₁ и q₂ соответственно могут скользить без трения по двум бесконечным спицам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии h. В начальный момент одна из частиц находилась в состоянии покоя, а другая, приближалась к ней, двигаясь по соседней спице из бесконечности с начальной скоростью u. Определить установившиеся скорости частиц.

1.13. В центре равномерно заряженного суммарным зарядом Q диска радиусом R и массой М приклеена небольшая заряженная частица массой m, имеющая заряд q того же знака, что и диск. Клей пересыхает и перестает удерживать частицу. Найти скорости диска и частицы после того, как они разлетятся на очень большое расстояние

1.13. Как показывают результаты численного моделирования, при придании всем частицам системы, рассмотренной в задаче 1.12, одинаковых по модулю начальных скоростей, направленных перпендикулярно нити, траектории этих частиц будут представлять собой подобные друг другу кривые (рис. 1.7). Доказать.

Указание. Эта, по-видимому, достаточно сложная задача (автору не удалось найти элементарного доказательства столь наглядного факта) может быть решена с помощью широко используемого при решении задач о движении в центральном поле метода разложения скорости частицы на радиальную и тангенциальную составляющие.

1.К1. Попытайтесь «научить» Ваш компьютер моделировать движение заряженных частиц в электростатическом поле задаваемой пользователем пространственной конфигурации. Проверьте правильность работы моделирующей программы на простейших примерах движения частицы в постоянном электрическом поле. Воспроизведите результаты численного эксперимента по движению зарядов в центральном поле, напряженность которого уменьшается с расстоянием по закону E ~ 1/r (рис. 1.7,б). Изучите особенности движения частиц в центральном поле вида E~r^α для различных значений α.

Рис. 1.7. Траектории частиц с одинаковыми массами и зарядами, выпущенных из разных точек с одинаковыми скоростями, направленными перпендикулярно равномерно заряженной нити:

а ― результаты моделирования движения частиц в трехмерном пространстве;

б ― проекции траекторий частиц на плоскость, перпендикулярную заряженной нити.

1.К2. Попытайтесь «научить» Ваш компьютер рассчитывать напряженность электростатического поля и потенциал, создаваемые произвольно задаваемым распределением точечных зарядов, в определяемой пользователем точке пространства. Проверьте правильность работы моделирующих программ на частных примерах, допускающих простой аналитический расчет.