Алгебраические преобразования

Алгебраические преобразования

1. Найдите корни уравнений: , , ,

2. Какое наименьшее значение может принимать выражение ?

3. Докажите, что при любых х: а) ; б) .

4. Докажите, что число 8999999 – составное.

5. Докажите, что если , то ,

6. Числа a, b, c, d таковы, что . Докажите, что .

7. Докажите, что если числа a, b и c попарно различны, то .

8. Числа a, b, c, d таковы, что . Докажите, что либо , либо .

9. Докажите, что если , то либо .

10.

Задачи с РЭ ОЭ последних лет

11. На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны.

12. Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.

13. Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на -1, равна удвоенному квадрату целого числа.

14. Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.

15. Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде , где х, y и z — три различных натуральных числа.