Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Периоды. Долг клиента (рублей)

1.Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно получить, потратив не более 200 рублей в воскресенье?

Ответ: 7.

2.На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 10.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 2,5.

4.На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,33.

5.Найдите корень уравнения:

Ответ: 14.

6.В треугольнике , — высота, Найдите

Ответ: 30.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4.

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Ответ: 2.

9.Найдите , если и

Ответ: −3.

10.Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Ответ: 30.

11.Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.

Ответ: 2.

12.Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Ответ: 5.

13.а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) Поскольку отрезку принадлежит единственный корень −2.

Ответ: а) −2; 1, б) −2.

14.Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁ = 6, AB = 4.

Решение.

Плоскость проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D₁E и D₁F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD₁N — сечение параллелепипеда плоскостью

Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC₁A₁ и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.

По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому и По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D₁B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D₁B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED₁F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и равны по гипотенузе и катету: Значит, а ABCD является квадратом.

б) Пусть K — середина ребра BB₁ а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).

В прямоугольном треугольнике BKN имеем:

откуда

Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС₁В₁ является параллелограмм ВKС₁N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС₁В₁ то есть 12. Поскольку для искомого угла между плоскостями получаем:

Ответ: или .

15.Решите неравенство:

Решение.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

Перейдём к системе:

Решение первого неравенства: или Из второго равенства получаем, что и Решение третьего неравенства:

Таким образом, решением неравенства является множество

Ответ:

16.Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Решение.

а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому

Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.

б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 5, поэтому OB = OM = 5x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,

По теореме Пифагора OB² = BP² + OP², откуда 25x² = 144 + 16x². Получаем, что x = 4.

Поскольку прямые AD и MC параллельны,

Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,

Ответ: 30.

17.В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Решение.

Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет откуда

Заметим, что 69 690 821 кратно Действительно,

Ответ: 124 809 100 рублей.

Замечания:

1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов:

дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга;

аннуитетная (равными платежами), как в условии данной задачи.

2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна

3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.

Приведём другое решение:

Если искомая сумма составляет x рублей, то:

Периоды

Долг клиента (рублей)

в начале отчетного периода с учетом возрастания долга

частичное погашение

остаток к концу периода после частичного погашения

Первоначальный

—

I год

1,31x

31000000 · 1,31³

II год

31000000 · 1,31³

III год

31000000 · 1,31³

Решение уравнения:

Ответ: 124 809 100 рублей.

18.Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [4; 8].

Решение.

Уравнение равносильно следующей системе:

Рассмотрим первый случай, когда корни совпадают: Тогда корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим второй случай, когда первый корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Рассмотрим второй случай, когда второй корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Приведем другое решение:

Уравнение равносильно следующей системе:

В плоскости xOa графиком системы (а значит и графиком исходного уравнения) будут отрезки прямых и , лежащие внутри круга, ограниченного окружностью .

Решение системы на отрезке [4; 8] на рисунке изображено синим цветом.

Найдём значения параметра (значения ординаты), при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [4; 8].

Для этого найдём ординату точки пересечения прямых и

Ординаты точек пересечения прямой и окружности найдём, подставив в уравнение окружности .

Таким образом исходное уравнение имеет на отрезке [4; 8] ровно один корень при

Ответ:

19.На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решение.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна , а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна , и их штук.

После описанных действий будет чисел с общей суммой Значит,

Отсюда следует, что Но тогда , что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения Очевидно, следует взять и максимизировать , то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит , откуда , , Тогда требуемое выражение будет равно Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая

Ответ:а) да б) нет в)