Основные материалы к зачёту по механике

Основные материалы к зачёту по механике

10 класс, Аничков Лицей

Список вопросов по теории:

1. Понятие механического движения: Механическое движение. Механическое состояние и способы его определения. Система отсчёта. Материальная точка. Траектория, путь и перемещение. Закон движения. Прямая и обратная задача механики. Декартовы, полярные, сферические и цилиндрические координаты. Переход из одной системы координат в другую.

2. Прямолинейное механическое движение: Прямолинейное и криволинейное движение. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Законы прямолинейного равномерного и равнопеременного движения. Графики зависимости от времени кинематических величин.

3. Кинематика вращательного движения: Угловые координата, скорость и ускорение. Связь угловых и линейных величин. Нормальное и тангенциальное ускорение. Качение округлых тел без проскальзывания.

4. Относительность механического движения: Относительные и абсолютные величины. Принцип относительности Галилея, границы его применимости. Законы сложения скоростей и ускорений. Инерциальные системы отсчёта. Первый закон Ньютона.

5. Второй закон Ньютона: Фундаментальные виды взаимодействий. Второй закон Ньютона в инерциальных системах отсчёта. Равнодействующая. Импульс тела и импульс силы. Второй закон Ньютона в импульсной форме.

6. Третий закон Ньютона: Третий закон Ньютона. Замкнутые системы. Закон сохранения импульса. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар. Реактивное движение. Уравнение Мещерского и формула Циолковского.

7. Силы упругости: Упругие и пластические деформации, виды деформаций. Закон Гука. Соединение упругих тел. Относительная деформация. Механическое напряжение. Модуль Юнга. Коэффициент упругости однородного цилиндра. Диаграмма растяжения.

8. Сила трения: Сухое трение покоя и скольжения. Закон Кулона-Амонтона. Сухое трение покоя и скольжения. Механизм возникновения трения качения и вязкого трения.

9. Вес тела: Вес тела. Перегрузки, частичная и полная невесомость. Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчёта. Ускорение свободного падения в неинерциальных системах отсчёта.

10. Закон Всемирного тяготения: Закон Всемирного тяготения. Гравитационное ускорение. Опыт Кавендиша, «взвешивание Земли». Ускорение сводного падения на разных широтах. Проявления неинерциальности Земли как системы отсчёта. Приливные силы.

11. Статика абсолютно твёрдого тела: Поступательное и вращательное движение. Центр масс системы тел. Плечо силы и момент силы. Условия равновесия абсолютно твёрдого тела. Устойчивое и неустойчивое равновесие.

12. Механическая работа: Механическая работа силы. Работа (против) сил тяжести, упругости, сухого трения скольжения и силы Всемирного тяготения. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия системы тел.

13. Простые механизмы: Мощность совершения работы. Выигрыш в силе и в перемещении при использовании простых механизмов. КПД простых механизмов. «Золотое правило» механики. КПД наклонной плоскости и подвижного блока.

14. Закон сохранения энергии: Теорема о кинетической энергии. Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения. Полная механическая энергия системы. Закон сохранения и изменения полной механической энергии.

15. Динамика вращательного движения: Плечо силы и момент силы. Аналог второго закона Ньютона для вращательного движения. Момент инерции материальной точки, цилиндра, кольца и шара. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

16. Движение тела в однородном поле тяжести: Ускорение свободного падения. Закон движения тела, брошенного под углом к горизонту. Максимальная дальность полёта и высота подъёма тела брошенного под углом к горизонту.

17. Движение тел в центральном поле тяжести: Движение спутника по круговой орбите. Первая космическая (круговая) скорость. Потенциальная энергия гравитационного поля. Параболическая скорость. Законы Кеплера.

Список задач:

A. Кинематика:

A.1.Первый участок, составляющий k (k < 1) от всего пути, катер прошёл со скоростью в n раз меньшей, чем оставшуюся часть пути. Найти его скорость на каждом участке, если средняя скорость на всём пути оказалась равна v.

A.2.Шайба после удара клюшкой скользит по льду с начальной скоростью v₀ и останавливается, на расстоянии S от мест удара. Найти путь шайбы за первые t секунд скольжения.

A.3.Самолёт в безветренную погоду взлетает под углом α к горизонту со скоростью v. Внезапно начинает дуть встречный горизонтальный ветер со скоростью и. Определить направление и модуль скорости самолёта относительно земли после этого.

A.4.Тело брошено с поверхности земли под углом α к горизонту и с начальной скоростью v₀. Сколько времени оно будет находиться выше уровня h над поверхностью земли?

A.5.Определить угловое перемещение за время t точек тормозного диска радиусом r, если нормальное ускорение точек на его краю за это же время изменилось от a_н до 0. Вращение диска считать равнозамдленным.

A.6.Концы лопастей летящего горизонтально вертолёта двигаются относительно Земли со скоростями от v₁ до v₂ . Найти скорость вертолёта и частоту вращения его лопастей, если длина каждой равна d.

B. Динамика (законы Ньютона):

B.1.Полноприводный грузовик массой M тянет прицеп массой m в горку, образующую угол α с горизонтом. С каким максимальным ускорением они могут двигаться, если коэффициент трения покоя (сцепление) между колёсами грузовика и склоном равен μ?

B.2.Под действием силы F, приложенной вдоль наклонной плоскости, тело массой m двигается вверх с ускорением a₁, либо вниз с ускорением a₂ (a₂ > a₁). С каким ускорением оно будет двигаться по этой наклонной плоскости без воздействия внешних сил?

B.3.Точеное тело массой m соединено нитью длиной l с вершиной гладкого конуса с углом α. Найти силу давления тела на поверхность этого конуса при вращении вокруг него со скоростью v.

B.4.Каково относительное сжатие поставленной вертикально гранитной колоны, высота которой в недеформированном состоянии равна H? Плотность гранита ρ, модуль Юнга E.

B.5.С каким ускорением должен тормозить поезд, чтобы книжка, прижатая к передней стенке вагона, не сползала вниз, когда её отпустят? Коэффициент трения между книгой и стеной μ.

B.6. Определить среднюю плотность планеты, если ускорение свободного падения на её экваторе равно g_э, а на полюсе – g_п. Длительность суток на этой планете составляет T.

C. Динамика (законы сохранения, статика и вращательное движение):

C.1.Определить КПД пандуса, предназначенному для подъёма груза на полозьях, если свободный от воздействия внешних сил груз будет равнозамедленно двигаться по этому пандусу вниз с ускорением a₁, а наверх – с ускорением a₂.

C.2.В едущую по горизонтальным рельсам со скоростью v₁ тележку запрыгивает человек массой m₂. Его скорость в этот момент равна v₂ и направлена под углом α к горизонту. Определить массу тележки, если после этого человек в тележке едет со скоростью v?

C.3.К стене прислонена лестница длиной l и массой M, образующая угол α с полом. На какую высоту может подняться по ней рабочий массой m, прежде чем лестница начнёт падать? Коэффициент трения между полом и лестницей μ.

C.4.Как долго придётся прикладывать к точке на экваторе планеты радиусом R и массой M постоянную силу F, направленную под углом α к горизонту, чтобы изменить частоту вращения планеты вокруг своей оси на ∆ν?

C.5.Шар, кольцо и цилиндр одинакового радиуса скатываются с одинаковой высоты из состояния покоя. Найти отношение их скоростей в конце спуска. Все тела катятся без проскальзывания.

C.6. Две звезды массами m₁ и m₂ находятся на расстоянии d друг от друга. Найти период их обращения вокруг общего центра масс по круговым орбитам.

D. Комбинированные задачи (на «4»):

(ЗСЭ + ДИН)

D.1.Брусок, лежащий на вершине гладкой полусферы радиусом R, начинает соскальзывать с неё без начальной скорости. На какой высоте брусок оторвётся от поверхности полусферы?

D.2.Тележка массой m начинает скатываться по рельсам с горки высотой H без начальной скорости. В конце спуска рельсы образуют «мёртвую петлю» радиусом R в вертикальной плоскости. Определить силу давления тележки на рельсы на высоте h.

D.3. Гимнаст массой m прыгает на батуте, поднимаясь на H над уровнем сетки в недеформированном состоянии в верхней точки своей траектории, и опускаясь на h ниже этого уровня в нижней точке. Определить максимальный вес гимнаста.

(ЗСИ + ДИН)

D.4.Пуля массой m пробивает насквозь покоящийся на горизонтальной поверхности брусок массой M. При этом брусок начинает скользить по поверхности, а скорость пули изменяется с v₁ до v₂. Найти коэффициент трения между бруском и столом, если брусок остановился через t после попадания в него пули.

D.5.Чему равен секундный расход топлива ракеты массой m, если она взлетает вертикально вверх с ускорением a, а скорость газовой струи относительно ракеты равна u?

D.6. Определить силу натяжения нити длиной l, на которой подвешен шарик массой M, в момент, когда в нём застревает летевшая со скоростью v пуля массой m.

(ЗСЭ + КИН)

D.7.Велосипедист съезжает с горки высотой H, имея на её вершине начальную скорость v. В конце спуска находится трамплин высотой h с углом наклона α. На каком расстоянии от трамплина приземлится велосипедист?

D.8.Тело, брошенное с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью v₀, достигло верхней точке траектории на высоте h, а на землю упало, имея скорость v. Определите средние силы сопротивления воздуха по пути наверх и вниз.

D.9. Небольшое тело, закреплённое на одном конце шнурка длиной l, вращается в вертикальной плоскости вокруг точки крепления второго конца шнурка. Его минимальная скорость при этом равна v_min. Когда шнурок образует угол α с горизонталью, тело моментально отрывается от него. Определить перемещение тела до верхней точки траектории после этого.

(ЗСИ + КИН)

D.10.Летящий горизонтально со скоростью v₀ снаряд разорвался на высоте h на два осколка равной массы. Первый упал точно под местом разрыва через t. Где и через какое время упадёт второй?

D.11.Набивной мяч массой M бросили вертикально вверх, а на высоте h в него попала летящая вертикально вверх со скоростью v пуля массой m. Пуля застревает в мяче, и через t тот достигает наивысшей точки подъёма. С какой скоростью бросали мяч?

D.12. Доска массой M и длиной l плавает на поверхности пруда. На краю доски сидит лягушка массой m. Она прыгает под углом α к горизонту и приземляется точно на противоположном краю доски. С какой скоростью прыгала лягушка? Вязким трением доски о воду пренебречь.

(ЗСЭ + ЗСИ)

D.13.При выстреле из пушки массой M высвобождается полная энергия W. При этом снаряд массой m вылетает из ствола орудия под углом α к горизонту, а скоростью отдачи пушки равна v. Сколько тепла рассеивается в окружающей среде при выстреле?

D.14.Какова средняя сила сопротивления грунта, если при ударе по свае массой M копером массой m, падающим с высоты h, свая уходит в Землю на глубину S? Удар считать абсолютно упругим.

D.15.После абсолютно упругого центрального столкновения двух тел, двигавшимися навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂, первое тело остановилось. Найти отношение их масс и скорость второго тела после удара.

D.16.По боковой грани клина массой M, лежащего на горизонтальной поверхности, с высоты h соскальзывает шайба массой m. С какой скоростью будут двигаться клин и шайба после этого, если трение в системе отсутствует?

D.17.Два шарика массами m₁ и m₂ движутся со скоростями v₁ и v₂ навстречу друг другу. Найти максимальную потенциальную энергию их взаимодействия при абсолютно упругом центральном ударе.

D.18.Две частицы, одна из которых покоится, а вторая – нет, имеют одинаковые массы. Под каким углом будут направлены их скорости после абсолютно упругого нецентрального удара?

Билет содержит два вопроса по теории и две задачи

Список уравнений, вывод которых обязателен на оценку «отлично»:

1. Переход из одной системы координат в другую (на уровне указать треугольник и какие его элементы выражены через какие)

2. Закон равнопеременного движения (интегрируем ускорение по времени дважды)

3. Закон сложения скоростей и ускорений (производная радиус-вектора по времени, потом ещё раз)

4. Вес тела при ускоренном движении

5. Эквивалентность формулировок II закона Ньютона

6. Закон сохранения импульса

7. Уравнение Мещерского

8. Формула Циолковского

9. К-т упругости параллельного соединения упругих тел

10. К-т упругости последовательного соединения упругих тел

11. Коэффициент упругости однородного цилиндра

12. Коэффициент трения в модели шероховатой поверхности

13. Ускорение свободного падения на разных широтах

14. Работа сил тяжести, сухого трения скольжения, упругости и Всемирного тяготения

15. КПД наклонной плоскости (с учётом трения)

16. КПД подвижного блока (с учётом его массы)

17. Связь угловых и линейных кинематических величин

18. Нормальное ускорение

19. Скорость точек на катящемся без проскальзывания колесе

20. Момент инерции материальной точки, кольца, диска, стержня, сферы и шара

21. Эквивалентность формулировок II закона Ньютона

22. Теорема о кинетической энергии

23. Кинетическая энергия вращения

24. Максимальная дальность полёта ТБУГ

25. Максимальная высота подъёма ТБУГ

26. Круговая скорость спутника

27. Параболическая скорость спутника

28. Второй закон Кеплера (через ЗСМИ)

29. Третий закон Кеплера для круговой орбиты

Вывод уравнения Мещерского и формулы Циолковского:

Рассмотрим тело переменной массы (ракету) в инерциальной СО, относительно которой оно двигается с переменной скоростью v. Скорость отделяющейся за время dt массы dm (реактивной струи) относительно ракеты равна u, а относительно ИСО равна векторной сумме u+v.

Запишем для этой системы ЗСИ с учётом равнодействующей внешних сил (это слагаемое можно было бы и отбросить, т.к. к сути явления оно не относится, но оставим его для большей общности полученного результата). Изменение импульса системы равно импульсу равнодействующей:

Т.е. сумма импульса силы и импульса тела до отделения массы равна сумме импульсов тела и отделившейся массы после:

Раскроем скобки и сократим mv и vdm:

Продиффиренцируем по времени и пренебрежём бесконечно малым слагаемым:

Последнее слагаемое выглядит так, как будто это ещё одна сила, действующая на это тело. Её называют в духе III закона Ньютона реактивной (дословно «действующей в ответ») силой. Она направлена противоположно направлению реактивной струи (отделяющейся массы) – поэтому пред u стоит знак минус. Реактивная сила пропорциональна относительной скорости реактивной струи и её массовому расходу (расходу топлива), что не противоречит интуиции.

Если мы рассмотрим ракету, свободную от действия внешних сил, и зададимся вопросом, чему будет равно изменение её скорости за всё время манёвра, то сможем записать следующее следствие из уравнения Мещерского:

Если масса ракеты без учёта топлива M, а масса израсходованного за время τ топлива равна m, то:

Проинтегрируем правую и левую часть по времени от начала до конца работы реактивного двигателя:

Слева стоит изменение скорости, а справа произведём замену переменной:

Тогда, считая скорость реактивной струи постоянной, а начальную и конечную скорость ракеты равной M+m и M соответственно:

Знак минус говорит о том, что ракета приобретает скорость в направлении противоположном направлению реактивной струи. Полученное приращение скорости является максимально возможным, т.к. реактивная тяга всё время действовала в одну сторону, если бы мы учитывали изменение направления u, то ответ был бы меньше (представьте себе, что ракета половину времени разгонялась в одну сторону, а потом повернула на 180^о, и начала разгон в противоположную сторону).