Определитель матрицы. Определитель матрицы – это ЧИСЛО, полученное по определенным правилам в зависимости от порядка матрицы. Определитель существует только для квадратных матриц!. Свойства определителей.

Определитель матрицы

Определитель матрицы – это ЧИСЛО, полученное по определенным правилам в зависимости от порядка матрицы. Определитель существует только для квадратных матриц!

· Определитель квадратной матрицы.
Определитель первого порядка представляет собой число.
Определитель квадратной матрицы порядка n A=(a_ij)_m×n обозначается символами:
Определитель квадратной матрицы A второго порядка — это число, равное:
Определитель квадратной матрицы А третьего порядка — это число, равное:

. Пример 7.

· Правило треугольников (правило Саррюса):

Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель, элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения — отрезками или треугольниками.

· Алгебраическое дополнение A=(a_ij) элемента a_ij — это определитель n-1 порядка, полученный из |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij, взятый со знаком (-1)^i+j.

Свойства определителей.

1. Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |A^T|=|A|.

2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):

6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:

8. Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:

9. Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

10. Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
.

12 Следующая ⇒