Курсовая работа

6.2. Пример построения интервального вариационного ряда и гистограмм

Пусть исходные эмпирические данные (варианты) x_i занесены в таблицу (таблица 6.4). Объем выборки n составляет 25 значений. Поле допуска Dx_i = 0,1.

Таблица 6.4 – Исходные эмпирические данные

№ x_i
x_i	22,99	23,40	15,21	33,25	18,00	28,31	16,48	29,14	13,27	18,58
№ x_i
x_i	19,29	30,89	18,23	21,19	25,46	23,10	18,02	26,81	26,74	22,44
№ x_i
x_i	19,00	31,38	30,53	19,03	16,47

6.2.1. Получение вариационного ряда в Microsoft Excel 2003

Для получения вариационного ряда имеющиеся эмпирические данные x_i располагаем в порядке возрастания, используя встроенные средства сортировки Microsoft Excel 2003.

Рисунок 6.1 – Скриншот изображения исходных данных и вариационного ряда

Из рисунка 6.1 видно, что

x_в.max = 33,25, (6.16)

x_в.min. = 13,27. (6.17)

6.2.2. Определение количества частичных интервалов k

Количество частичных интервалов k определяется по формуле
Г. Стёржеса (Старжеса) – формула (6.1). Подставив в формулу (6.1) значение n = 20, получим, что

(6.18)

Проверим правильность расчета и выбора количества интервалов, используя данные таблицы 6.1. При объеме выборки n от 25 до 40 количество частичных интервалов k должно быть 5 или 6, что соответствует расчетному значению k = 6, полученному в результате округления (см. выражение (6.16)).

6.2.3 Определение максимального x_в.max и минимального x_в.min
значений для получения интервального ряда

Варианты исходного ряда имеют целую и дробную часть. Поле допуска Dx_i = 0,1. Поэтому округлим значения x_в.min и x_в.m_ax до десятых долей.

Значение x_в.min округляется в меньшую сторону до десятых долей в соответствии с выражением (6.4). Подставив в (6.4) полученное значение x_в.min. = 13,27 (см. выражение (6.17)), получим, что

(6.19)

Значение x_в.m_ax округляется в большую сторону до десятых долей в соответствии с выражением (6.5). Подставив в (6.5) полученное значение x_в.min. = 33,25 (см. выражение (6.16)), получим, что

(6.20)

6.1.4 Определение размаха варьирования R (диапазона значений)

Размах варьирования R (диапазон значений) определяется из выражения (6.6). подставив в (6.6) значения x_и.m_ax = 33,3 (см. выражение (6.20)) и x_и.min = 13,2 (см. выражение (6.19))

R = 33,3 – 13,2 = 20,1. (6.21)

6.2.5 Определение ширины частичных интервалов

Все варианты ряда имеют допуски Dx_i = 0,1, поэтому ширина частичных интервалов h определяется из выражения (6.8). Подставив в (6.8) рассчитанные значения R = 20,1 (см. выражение (6.21)) и k = 6 (см. выражение (6.18)) и известное значение Dx_i = 0,1, получим, что

(6.22)

Значение представляет собой число с бесконечной дробной частью, исходные варианты имеют 2 знака после запятой, поэтому округлим значение h до сотых долей. С учетом этого получим, что h = 3,38.

6.2.6 Получение значений, характеризующих границы частичных интервалов

Все варианты ряда имеют допуски Dx_i, поэтому нижняя граница первого интервала x_Н1 определяется по формуле (6.9). Подставив в (6.9) рассчитанное значение x_и.min = 13,2 (см. выражение (6.19)) и известное значение Dx_i = 0,1, получим, что

x_Н1 = 13,2 – 0,1 = 13,1. (6.23)

Для расчета значения верхней границы x_В1 используется выражение (6.10). Подставив в выражение (6.10) рассчитанные значения x_Н1 = 13,1 (см. выражение (6.23)) и h = 3,38 (см. выражение (6.22) и результат округления), получим, что

x_В1 = 13,1 + 3,38 = 16,48. (6.24)

Для расчета значений верхних x_В_i и нижних x_Н_i границ интервалов
(i = 2; 3; … 6) используется набор выражений вида (6.11). Подставим в первое выражение набора (6.11) рассчитанные значения x_В1 = 16,48 (см. выражение (6.25)) и h = 3,38 (см. выражение (6.22) и результат округления), во второе выражение набора (6.11) подставим рассчитанные значения x_В2, полученное в результате расчета по выражению (6.25), и
h = 3,38, и так далее:

(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.28)

(6.29)

6.2.7 Подсчет суммарной частоты вариант для каждого частичного
интервала

После того, как выполнена разбивка всего диапазона значений вариационного ряда на частичные интервалы с указанием их границ, можно выполнить подсчет суммарной частоты вариант n_i, попадающих в каждый i-й частичный интервал.

Таблица 6.5 – Суммарная частота вариант n_i, попадающих в каждый i-й частичный интервал (абсолютные значения)

Номер интервала	[x_H1; x_В1)	[x_H2; x_В2)	[x_H3; x_В3)	[x_H4; x_В₄)	[x_H5; x_В₅)	[x_H6; x_В₆]
Диапазон значений	[13,1; 16,48)	[16,48; 19,86)	[19,86;23,24)	[23,24;26,62)	[26,62;30,0)	[30,0;33,38)
n_i

Далее для каждого частичного интервала i (i = 1 … 6) рассчитываем относительную суммарную частоту n_ri по формуле (6.12). Подставив в выражение (6.12) полученные значения n_i (см. таблицу 6.5) и известное значение n = 25, получим, что

(6.30)

(6.31)

(6.32)

(6.33)

(6.34)

(6.35)

Результаты представлены в виде таблицы (таблица 6.6), в которой приводятся значения частот вариант интервального вариационного ряда (абсолютные и относительные значения).

Таблица 6.6 – Суммарная частота вариант n_i, попадающих в каждый i-й частичный интервал (абсолютные и относительные значения)

Номер интервала	[x_H1; x_В1)	[x_H2; x_В2)	[x_H3; x_В3)	[x_H4; x_В₄)	[x_H5; x_В₅)	[x_H6; x_В₆]
Диапазон значений	[13,1; 16,48)	[16,48; 19,86)	[19,86;23,24)	[23,24;26,62)	[26,62;30,0)	[30,0;33,38)
n_i
n_ri	0,12	0,32	0,16	0,08	0,16	0,16

6.2.8 Проверка правильности выполненных расчетов

Проверка правильности выполнения соотношения между суммой абсолютных частот и объемом выборки n проводится путем проверки отношения (6.13). Подставив в выражение (6.13) значения n_i из таблицы 6.5, а также известное значение n = 25, получим, что

3 + 8 + 4 + 2 + 4 + 4 = 25. (6.36)

Выражение (6.36) имеет значение «истина», что подтверждает правильность подсчета суммарных частот вариант (абсолютные значения).

Проверка правильности выполнения соотношения между суммой относительных частот и суммарной вероятностью их появления, равной 1 проводится путем проверки отношения (6.14). Подставив в выражение (6.14) значения n_ri из таблицы 6.5, получим, что

0,12 + 0,32 + 0,16 + 0,08 + 0,16 + 0,16 = 1. (6.37)

Выражение (6.37) имеет значение «истина», что подтверждает правильность подсчета суммарных частот вариант (относительные значения).

Таким образом, расчеты выполнены правильно, и можно приступать к построению гистограмм, предварительно определив значения середин интервалов.

6.2.9 Нахождение значений середин частичных интервалов x_ср.i

Для i-го интервала (i меняется от 1 до 6) с учетом того, что ширина частичного интервала h = 3,38, выражение (6.15) для расчета значения середины частичных интервалов x_ср.i(i меняется от 1 до k = 6) примет вид

x_ср.i= x_Нi+ 1,69. (6.38)

Подставив в выражение (6.38) рассчитанные значения x_Нi(см. выражения (6.23), (6.25) – (6.29)), получим, что

x_ср.1= 13,1+ 1,69 = 14,79, (6.39)

x_ср.2= 16,48+ 1,69 = 18,17, (6.40)

x_ср.3= 19,86+ 1,69 = 21,55, (6.41)

x_ср.4= 23,24+ 1,69 = 24,93, (6.42)

x_ср.5= 26,62+ 1,69 = 28,31, (6.43)

x_ср.6= 30 + 1,69 = 31,69. (6.44)

Результаты представлены в виде таблицы (таблица 6.7), в которой приводятся значения середин интервалов и частот вариант интервального вариационного ряда (абсолютные и относительные значения).

Таблица 6.7 – Значения середин интервалов и суммарная частота вариант n_i, попадающих в каждый i-й частичный интервал (абсолютные и относительные значения)

Номер интервала	[x_H1; x_В1)	[x_H2; x_В2)	[x_H3; x_В3)	[x_H4; x_В₄)	[x_H5; x_В₅)	[x_H6; x_В₆]
Диапазон значений	[13,1; 16,48)	[16,48; 19,86)	[19,86;23,24)	[23,24;26,62)	[26,62;30,0)	[30,0;33,38)
x_ср.i	14,79	18,17	21,55	24,93	28,31	31,69
n_i
n_ri	0,12	0,32	0,16	0,08	0,16	0,16

Получены все данные, необходимые для построения гистограмм, переходим к их построению.

7 Практическая часть. Построение гистограмм

Данные для построения гистограммы представлены в таблице 6.7. Построим гистограммы.

Запускаем программу Microsoft Excel (в примере рассматривается версия Microsoft Excel 2003) и заносим в ячейки таблицы на рабочем поле значения из таблицы 6.7 (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 – Скриншот результата занесения исходных данных из
таблицы 6.7 в таблицу Microsoft Excel

7.1 Построение гистограммы абсолютных частот

Начинаем строить гистограмму средствами Microsoft Excel 2003. Последовательно выполняем команды Вставка ® Диаграмма… ® Гистограмма.

Результат выполнения цепочки команд иллюстрирует рисунок 7.2.

Рисунок 7.2 – Скриншот результата выполнения цепочки команд
Вставка ® Диаграмма… ® Гистограмма

Нажимаем кнопку «Далее». Появляется окно Мастера диаграмм (рисунок 7.3).

Рисунок 7.3 – Скриншот окна Мастера диаграмм (выбор диапазона значений)

Далее нужно выбрать диапазон данных. Данные для построения гистограммы находятся в строках. Для построения гистограммы абсолютных частот нужно выбрать строку значений n_i.

Нажимаем на кнопку выбора диапазона данных (на рисунке 7.3 указана стрелкой). Выделяем строку значений n_i. Результат иллюстрирует рисунок 7.4.

Рисунок 7.4 – Скриншот окна Мастера диаграмм (указан диапазон значений для гистограммы абсолютных частот)

Нажимаем на кнопку выбора диапазона данных (на рисунке 7.4 указана стрелкой). На экране появляется изображение гистограммы (рисунок 7.5). Значения середин частичных интервалов указаны цифрами от 1 до 6, что не соответствуют значениям, приведенным в таблице 6.7. Исправим эту ситуацию.

Рисунок 7.5 – Скриншот окна Мастера диаграмм (построена гистограмма,
середины частичных интервалов отмечены цифрами от 1 до 6)

Переходим во вкладку «Ряд» (рисунок 7.6). Задаем подписи по оси X. Для этого нажимаем на кнопку выбора диапазона значений (на рисунке 7.6 указана стрелкой).

Рисунок 7.6 – Скриншот окна Мастера диаграмм (построена гистограмма,
будут задаваться подписи по оси X)

Выделяем строку значений x_ср.i. Результат иллюстрирует рисунок 7.7.

Рисунок 7.7 – Скриншот окна Мастера диаграмм (построена гистограмма,
указан источник для формирования подписей по оси X)

Далее нажимаем на кнопку выбора диапазона значений (на рисунке 7.7 указана стрелкой). Результат иллюстрирует рисунок 7.8.

Рисунок 7.8 – Скриншот окна Мастера диаграмм (построена гистограмма
абсолютных частот, середины частичных интервалов отмечены их значениями)

Аналогичные действия выполняются и для построения гистограммы относительных частот, только при выборе диапазона данных вместо строки значений n_i (см. рисунок 7.4) нужно выбрать строку значений n_ri. (рисунок 7.9) и нажать на кнопку выбора диапазона данных (на рисунке 7.9 указана стрелкой).

Результат построения гистограммы относительных значений иллюстрирует рисунок 7.10.

Рисунок 7.4 – Скриншот окна Мастера диаграмм (указан диапазон значений для гистограммы относительных частот)

Рисунок 7.10 – Скриншот окна Мастера диаграмм (построена гистограмма
относительных частот, середины частичных интервалов отмечены их значениями)

Введем наименование гистограммы абсолютных частот (см. рисунок 7.8). Для этого в Мастере диаграмм зададим имя гистограммы, например «Размер образца». Введем имя в поле «Имя:» (рисунок 7.11).

Рисунок 7.11 – Ввод названия (имени) гистограммы абсолютных частот

Введем наименование осей гистограммы абсолютных частот (см. рисунок 7.8). Для этого в Мастере диаграмм зададим имена осей гистограммы (рисунок 7.12). После этого нажимаем кнопку «Далее».

Рисунок 7.12 – Ввод названий осей гистограммы абсолютных частот

Рисунок 7.13 – Нажимаем «Готово»

Список использованных источников

1. Студопедия. Виды вариационных рядов [Электронный ресурс]. – URL : https://studopedia.ru/3_19914_vidi-variatsionnih-ryadov.html (дата обращения 24.01.2020 г.).

2. Правило Стерджеса. Материал из Википедии – свободной энциклопедии. [Электронный ресурс]. – URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/Правило_Стёрджеса (дата обращения 24.01.2020 г.).

3. Описательная статистика [Электронный ресурс]. – URL : https://law.bsu.by/pub/11/barvenov_1.pdf (дата обращения 24.01.2020 г.).

4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. – Изд. 7-е, стер. – М. : Высшая школа. 2001. – 479 с. : ил.

5. Сайт Pandia.ru. Лабораторная работа № 1. Первичная обработка статистических данных. [Электронный ресурс]. – URL : https://pandia.ru/text/80/245/42926.php (дата обращения 24.01.2020 г.).

6. Построение вариационных рядов, графическое изображение вариационного ряда с помощью MS Office Excel (сайт) [Электронный ресурс]. – URL : https://lektsii.org/18-74242.html

7. Гистограмма – Logimon Wiki (сайт) [Электронный ресурс]. – URL :

https://wiki.loginom.ru/articles/histogram.html (дата обращения 24.01.2020 г.).

Приложение А

Шаблон титульного листа курсовой работы (2020 год)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (МИНОБРНАУКИ РОССИИ)

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Рыбинский государственный авиационный

технический университет имени П. А. Соловьева»

(РГАТУ имени П. А. Соловьева)

Факультет заочного обучения

Кафедра МПОЭВС

Курсовая работа

по дисциплине

12 Следующая ⇒