Задачи для самостоятельного решения

Практическое занятие 3

Оценивание погрешностей измерений

Примеры

1. К выходу источника напряжения подключен вольтметр, показание которого U = 10,00 В. Измерение выполняется при температуре окружающей среды Т = 25 ^оС.

Характеристики источника напряжения: форма напряжения — синусоидальная, частота f = 1500 Гц, выходное сопротивление R_и£ 1 Ом.

Характеристики вольтметра: класс точности 0,2; диапазон показаний — (0…15) В; нормальная область значений температуры — (20 ± 2) ^оС; рабочая область значений температуры — (10…35) ^оС; нормальная область значений частоты — (45…1000) Гц; рабочая область значений частоты — (20…2000) Гц; R_V= 200 Ом; C_V не нормируется (т.е. входное сопротивление вольтметра в диапазоне рабочих частот можно считать чисто активным).

Полагая, что погрешность отсчитывания пренебрежимо мала, представить результат измерения в виде двух доверительных интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,95.

Решение:

P = 1

D_п = D_вз.п + D_о.п + D_т.п + D_f _п;

D_вз = – U (R_и / R_V);

D_вз_._н = – U (R_и_max / R_V) = – 0,05 В;

D_вз_._в = – U (R_и_min / R_V) = 0 В;

D_вз.п = (D_вз.в – D_вз.н) / 2 = 0,025 В;

h = – (D_вз.в + D_вз.н) / 2 = 0,025 В;

U¢ = U + h = 10,025 В;

D_о.п = g_о.п (U_N / 100 %) = 0,03 В;

D_т.п = (D_о.п / 10 ^оС)½Т – Т_н½= 0,015 В;

D_f_п = D_о.п = 0,03 В;

D_п = 0,100 В.

Ответ 1: (10,03 ± 0,10) В; Р=1.

P = 0,95

D_гр(Р) = K_P = 0,0566 В.

Ответ 2: (10,025 ± 0,057) В; Р = 0,95.

2. Последовательно с резистором включен амперметр класса точности 0,5 с диапазоном показаний (0…5) А. Показание амперметра I = 2,000 А; существенна только основная погрешность прибора. Номинальное значение сопротивления резистора R = 1 Ом; предел допускаемого относительного отклонения реального сопротивления от номинального d_R_,п = 0,5 %.

Определите мощность рассеяния резистора Р_расс. Представить результат в виде доверительного интервала для доверительной вероятности P = 1.

Решение:

Р_расс = I² R = 4,000 Вт;

* 1-й способ

Р_расс = I²R;

D_п = ½¶Р_расс / ¶I ½ D_I_п + ½¶Р_расс / ¶R ½D_R_п ;

D_I_п = g_о_._п (I_N / 100 %) = 0,025 А;

D_R_п = d_R_п (R / 100 %) = 0,005 Ом;

¶Р_расс/ ¶I = 2 I R = 4,000 В;

¶Р_расс/ ¶R = I²= 4,000 А²;

D_п = 0,12 Вт;

Ответ 1: (4,00 ± 0,12) Вт; Р = 1.

* 2-й способ

₂

Р_расс = P(a_i x_i^bi); x₁= I; x₂= R; a₁= a₂= 1; b₁= 2; b₂= 1;

^{i =1}

d_п = ½b₁½d_1,_п + ½b₂½d_2,_п = 2 d_I_п + d_R_п ;

d_I_п = g_о_._п (I_N / I) = 1,25 %;

d_п = 3,0 %;

D_п = d_п ( Р_расс / 100 %) = 0,12 Вт;

Ответ 2: (4,00 ± 0,12) Вт; Р = 1.

3. Измерение коэффициента усиления усилителя напряжения K_U выполняется с помощью цифрового милливольтметра; при этом измеряются напряжения на входе и выходе усилителя — U_вх1, U_вых1, U_вх2, U_вых2, а значение K_U вычисляется по формуле: K_U = (U_вых1 – U_вых2) / (U_вх1 – U_вх2).

Измеренные значения напряжений:

U_вх1 = 200,0 мВ, U_вых1 = 605,3 мВ, U_вх2 = 100,0 мВ, U_вых2 = 305,3 мВ.

Полагая, что существенна только погрешность квантования цифрового вольтметра (значение которой по абсолютной величине не превышает половины ступени квантования), представить результат измерения коэффициента усиления в виде двух доверительных интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,95.

Решение:

K_U = 3;

P = 1

D_п = ½¶K_U / ¶U_вх1½D_U_вх1п + ½¶K_U / ¶U_вх2½D_U_вх2п +

+½¶K_U / ¶U_вых1½D_U_вых1п + ½¶K_U / ¶U_вых2½D_U_вых2п;

D_U_вх1п = D_U_вх2п = D_U_вых1п = D_U_вых1п = 0,05 мВ;

¶K_U / ¶U_вх1 = – K_U / (U_вх1 – U_вх2) = – 0,03000 мВ^-1;

¶K_U / ¶U_вх2 = K_U / (U_вх1 – U_вх2) = 0,03000 мВ^-1;

¶K_U / ¶U_вых1 = K_U / (U_вых1 – U_вых2) = 0,01000 мВ^-1;

¶K_U / ¶U_вых2 = – K_U / (U_вых1 – U_вых2) = – 0,01000 мВ^-1;

D_п = 0,0040.

Ответ 1: (3,0000 ± 0,0040); Р = 1.

P = 0,95

D_гр(Р) = K_P × {[(¶K_U / ¶U_вх1) D_U_вх1п] ²+

+ [(¶K_U / ¶U_вх2) D_U_вх2п]² +

+ [(¶K_U/¶U_вых1) D_U_вых1п] ²+

+[(¶K_U/¶U_вых2) D_U_вых2п] ²} ^0,5;

D_гр(Р) » 0,0025;

Ответ 2: (3,0000 ± 0,0025); Р = 0,95.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вольтметром класса точности 1 с диапазоном показаний (0…0,5) В, со шкалой, содержащей 150 делений, и входным сопротивлением не менее 10 кОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление не более 100 Ом. С округлением до 1 дел. по шкале сделан отсчет: 131 дел.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,97.

2. Вольтметром класса точности 0,5 с диапазоном измерений (0…100) В и входным сопротивлением от 95 до 105 кОм в условиях, отличающихся от нормальных только температурой, значение которой составляет 30 ^оС, измеряется напряжение постоянного тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление, равное 10 кОм. Измеренное значение составляет 40,0 В. Погрешность отсчитывания пренебрежимо мала.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,99.

3. Цифровым вольтметром класса точности 0,02/0,005 с диапазоном измерений (0…1) В и входным сопротивлением от 9 до 11 МОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление от 8 до 12 кОм. Измеренное значение составляет 0,50000 В.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,99.

4. Вольтметром класса точности 2,5 с диапазоном измерений (0…600)В и входным сопротивлением от 180 до 220 кОм в условиях, отличающихся от нормальных только температурой, значение которой составляет 18 ^оС, измеряется напряжение постоянного тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление, равное 20 кОм. Измеренное значение составляет 500 В. Погрешность отсчитывания пренебрежимо мала.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,99.

5. Цифровым вольтметром класса точности 0,01/0,005 с диапазоном измерений (0…250)В и входным сопротивлением от 900 кОм до 1 МОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление, равное 5 кОм. Измеренное значение составляет 160,00 В.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,95.

6. Милливольтметром класса точности 1,5 с диапазоном измерений (0…150) мВ, со шкалой, содержащей 75 делений, в нормальных условиях измеряется u = U₁ – U₂ — изменение напряжения на выходе источника, выходное сопротивление которого пренебрежимо мало. С округлением до 1 дел. по шкале сделаны отсчеты: a₁ = 50 дел., a₂= 40 дел.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,95.

7. Определите значение коэффициента усиления K_U усилителя напряжения, границы доверительного интервала допускаемой погрешности измерения K_U для доверительной вероятности, равной 0,95, и представьте результат измерения в установленном виде. Формула для расчета коэффициента усиления: K_U = (U_вых1 - U_вых0) / U_вх1.

Напряжения измеряются вольтметром класса точности 0,08/0,05; диапазоны измерений: для U_вых0 и U_вх1 — (0…100) мВ, для U_вых1 — (0...10) В. Измеренные значения: U_вх1= 50,00 мВ; U_вых0= 64,00 мВ; U_вых1= 6,464 В. Существенна только основная погрешность вольтметра.