|
||||||
Производная и дифференциал. Дифференцирование явных функций. Пусть мы имеем функцию
1. Производная и дифференциал (Повторение) 1.1. Дифференцирование явных функций Понятие производной – важнейшее понятие математического анализа, наряду с понятием интеграла. Пусть мы имеем функцию y = f(x) определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента х из этого промежутка функция y = f(x) имеет определенное значение. Пусть аргумент х получил некоторое (положительное или отрицательное – безразлично) приращение Dх. В этом случае функция у получит некоторое приращение Dу. Таким образом: при значении аргумента х будем иметь y = f(x), при значении аргумента х + Dх будем иметь у + Dу = f(х + Dх). Найдем приращение функции Dу: Dу = f(x + Dx) – f(x). Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Найдем предел этого отношения при Dx ® 0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) и обозначают . Таким образом, по определению или . Следовательно, производной данной функции у = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Отметим, что в общем случае для каждого значения х производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от х. Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения , , . Конкретное значение производной при x = a обозначается или . Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции. Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : . Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , то есть . Уравнение касательной к кривой в точке :
Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящей через точку , тогда и уравнение нормали имеет вид (здесь ).
Определение. Если функция у = f(х) имеет производную в точке , т.е. если существует , то при данном значении функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную. Если функция дифференцируема в каждой точке отрезка [a: b] или интервала (a; b), то она дифференцируема на отрезке [a; b] или соответственно в интервале (a; b). Теорема. Если функция у = f(х) дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение не верно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция у = f(х) непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема: функция f(x) может и не иметь производной в точке . Например, рассмотрим функцию , в точке она непрерывна, но не дифференцируема Докажем, что функция не дифференцируема в точке . Производная функции (если она существует) равна . Очевидно, что при производная не существует, так как отношение равно 1 при и при , то есть не имеет предела при (ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке .
Приведем далее основные формулы и правила дифференцирования. Формулы дифференцирования основных функций. 1. . 11. . 2. . 12. . 3. . 13. . 4. . 14. . 5. . 15. . 6. . 16. . 7. . 17. . 8. . 18. . 9. . 19. . 10. .
Основные правила дифференцирования. Пусть С – постоянная, u = u(x) и v = v(x) – функции, имеющие производные. Тогда: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) правило дифференцирования сложной функции. Пусть дана сложная функция y = f(x), т.е. такая, что ее можно представить в виде: y = F(u), u = j(x) или y = F(j(x)). В выражении y = F(u) переменную u называют промежуточной переменной. Теорема. Если функция u = j(x) имеет в некоторой точке х производную , а функция y = F(u) имеет при соответствующем значении u производную , то сложная функция y = F(j(x)) в указанной точке х также имеет производную, которая равна , где вместо u должно быть подставлено выражение u = j(x). Коротко , т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по х. Если функция y = f(x) такова, что ее можно представить в виде y = F(u), u = j(v), v = y(x), то нахождение производной производится путем последовательного применения указанной теоремы. По указанному правилу имеем . Применяя эту же теорему для нахождения , будем иметь . Подставляя выражение в предыдущее равенство, получаем или . Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции . Находим приращение функции . Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Найдем предел этого отношения при Dх ® 0 . Следовательно, по определению производной . Пример 2.Исходя из определения производной, найти производную функции y = 5 sin x +3 cos x. Находим приращение функции: . Отсюда . Таким образом, . Итак, . Пример 3. Исходя из определения производной, найти производную функции . Находим . Отсюда . Итак, . Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций. Пример 4. . Пример 5. . . Пример 6. . . Пример 7. . Пример 8. . Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем . Пример 9. . . Пример 10. . . Пример 11. . . Пример 12. . Пример 13. . Пример 14. . Пример 15. .
Пример 16. . Пример 17. . Пример 18. . Пример 19. . Пример 20. .
Пример 21. . Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим . Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Поскольку у является функцией от х, то ln y есть сложная функция х и . Следовательно, , т.е. . Пример 22. . Имеем , откуда ; . Пример 23. . Здесь заданную функцию также следует предварительно прологарифмировать: ; ; . Пример 24. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке М(2; -1). Из уравнения кривой найдем производную: , т.е. . Следовательно, . Уравнение касательной , или . Уравнение нормали , или .
|
||||||
|