Аксиоматическое определение множества действительных чисел:аксиома непрерывности и принцип Дедекинда, их эквивалентность.

БИЛЕТ 2

2.Аксиоматическое определение множества действительных чисел:аксиома непрерывности и принцип Дедекинда, их эквивалентность.

Таким образом,аксиома непрерывности и принцип Дедекинда.

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

1. Предел функции по Гейне.

Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x=a за исключением самой точки a. Возьмем последовательность точек {x_n} из этой окрестности, сходящуюся к точке a. Значения функции в точках последовательности образуют последовательность f(x₁), f(x₂), ..., f(x_n), ....

Число b называется пределом функции f в точке x=a (или при x → a), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к a и такой, что x_n =a для всех n∈N, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к b.

Определение предела функции по Гейне

Число b называется пределом функции f в точке x=a, если

∀{x_n}, x_n =a (n∈N), .

Пишут

Определение. Число b называется пределом функции f при x →∞, или на бесконечности, если для любой ББП {x_n} соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к b. Для обозначения предела функции на бесконечности применяется запись:

2. Предел функции по Коши.

Определение. Число b называется пределом функции f в точке x=a, если для любого числа ε>0, сколь малым оно бы ни было, существует положительное число δ такое, что для всякого x, удовлетворяющего условию 0<|x−a|<δ, выполняется неравенство |f(x)−b|<ε. Другими словами, число b называется пределом функции f в точке x = a, если ∀ε>0 ∃δ>0: ∀x, 0<|x−a|<δ, |f(x)−b|<ε. Это определение называется определением предела функции по Коши, или на языке ε-δ.

Теорема Определение предела по Гейне эквивалентно определению предела по Коши.

Доказательство. Пусть число b является пределом функции в точке a по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность , , то есть такую, для которой . Покажем, что b является пределом по Гейне. Зададим произвольное и укажем для него

такое , что для всех x из условия следует неравенство . В силу того, что , для найдётся такой номер , что будет выполняться неравенство , а следовательно , то есть .

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что по Гейне, и покажем, что число b является пределом функции f(x) в точке a по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: . В качестве рассмотрим , а соответствующие значения будем обозначать . Тогда при любом выполняются условия и . Отсюда следует, что последовательность является подходящей, но число b не является пределом функции в точке a по Гейне. Получили противоречие.