Следствия из аксиомы непрерывности: существование иррациональных чисел, принцип Архимеда.

БИЛЕТ 3

Следствия из аксиомы непрерывности: существование иррациональных чисел, принцип Архимеда.

Предел функции при x→∞ (x→-∞,x→+∞) их геометрический смысл, примеры

1. Пределом функции y = f(x) при х→+∞, (плюс бесконечность)

Определение.Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Пишут : lim_х→+_∞ f(x) = b.

Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b.

Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0. Прямая называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).

Пример: lim_х→+_∞ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

2. Пределом функции y = f(x) при х→ –∞, (минус бесконечность)

Определение.Число b называется пределом функции y = f(x) при х→–∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х < –М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Пишут: lim_х→–_∞ f(x) = b.

Геометрический смысл

В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.

Пример: lim_х→–_∞ (3 + 2^х) = 3 и функция y = (3 + 2^х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.

Прямая у = b может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при х→+∞, и при х→–∞. Пишут так: х→∞.

3. Пределом функции y = f(x) при х → ∞ (бесконечность)

Определение.Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех x таких, что |х| > М, выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Пишут: lim _х_→∞ f(x) = b.

Пример: lim _х_→∞ х²/(х²+1) = 1 и функция y = х²/(х²+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.