Интеграл .

Вопросы к экзамену по курсу математического анализа

для студентов I курса ФМИ

специализация “Информатика”

второй семестр

1. Неопределенный интеграл Римана.

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Таблица основных неопределенных интегралов.

3. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Примеры.

4. Методы разложения и подстановки. Примеры.

5.Метод интегрирования по частям. Группы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям. Примеры.

6.Интеграл .

7. Интегрирование простых дробей.

8. Интегрирование правильных рациональных дробей.

9. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

10. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.

11. Интегрирование дифференциальных биномов. Теорема Чебышева.

12. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

1. Определенный интеграл Римана.

1.1. Определение интеграла. Интегрируемость.

1.2. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости.

1.3. Равномерная непрерывность функции на множестве.

1.4. Классы интегрируемых функций.

1.5. Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла.

1.5.1. Простейшие свойства.

1.5.2. Оценки интегралов.

1.5.3. Теоремы о среднем значении.

1.6. Интеграл с переменным верхним пределом.

1.6.1. Понятие интеграла с переменным верхним пределом и его свойства.

1.6.2. Основная формула интегрального исчисления.

1.7. Замена переменной под знаком определенного интеграла.

1.8. Формула интегрирования по частям.

1.9. Приложения определенного интеграла.

1.9.1. Длина дуги кривой.

1.9.1.1. Понятие простой кривой по Жордану.

1.9.1.2. Длина дуги кривой. Спрямляемость.

1.9.1.3. Достаточные условия спрямляемости.

1.9.1.4. Дифференциал длины дуги.

1.9.2. Площадь плоской фигуры.

1.9.2.1. Понятие плоской фигуры. Внутренние, внешние и граничные точки.

1.9.2.2. Площадь плоской фигуры. Квадрируемость.

1.9.2.3. Площадь криволинейной трапеции.

1.9.2.4. Площадь криволинейного сектора.

1.9.3. Объем тела в пространстве.

1.9.3.1. Понятие объема пространственного тела. Кубируемость.

1.9.3.2. Некоторые классы кубируемых тел. Объем тела вращения.

1.9.4. Площадь поверхности вращения.

2. Несобственные интегралы.

2.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (НИ I).

2.1.1. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования.

2.1.2. Применение основной формулы интегрального исчисления.

2.1.3. Простейшие теоремы.

2.1.4. Свойства сходящих несобственных интегралов.

2.1.5. НИ I от неотрицательных функций. Признаки сравнения.

2.1.6. Критерий Коши сходимости НИ I. Абсолютная и условная сходимость.

2.1.7. Признаки сходимости НИ I Абеля и Дирихле.

2.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (НИ II).

2.2.1. Понятие несобственных интегралов от неограниченных функций.

2.2.2. Применение основной формулы интегрального исчисления.

2.2.3. Свойства сходящих несобственных интегралов.

2.2.4. НИ II от неотрицательных функций. Признаки сравнения.

2.2.5. Критерий Коши сходимости НИ II. Абсолютная и условная сходимость.

2.3. Главное значение расходящихся несобственных интегралов.

4. Числовые ряды.

4.1. Понятие числового ряда. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

4.2. Основные теоремы.

4.3. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимый признак сходимости.

4.4. Ряды с положительными членами.

4.4.1. Сходимость рядов с положительными членами.

4.4.2. Признаки сравнения.

4.4.3. Признаки Даламбера и Коши.

4.4.4. Интегральный признак Коши-Маклорена.

4.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

4.6. Ряды с произвольными членами.

4.6.1. Преобразование и неравенство Абеля.

4.6.2. Признаки Абеля и Дирихле.

4.6.3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Группировка членов ряда.

4.6.4. Перестановка членов ряда. Теоремы Римана и Коши. Произведение рядов.

5. Функциональные последовательности и ряды.

5.1. Равномерная сходимость.

5.1.1. Понятие функциональной последовательности. Сходимость. Предельная функция. Равномерная сходимость. Понятие функционального ряда. Сходимость. Сумма ряда. Равномерная сходимость.

5.1.2. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.

5.1.3. Признаки равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.

5.2. Свойства равномерно сходящихся функциональной последовательности и функционального ряда.

5.2.1. Предельный переход под знаком функциональной последовательности и функционального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда и предельной функции функциональной последовательности.

5.2.2. Почленное интегрирование функциональной последовательности и функционального ряда. Почленное дифференцирование функциональной последовательности и функционального ряда.