Формула Бинома-Ньютона. Треугольник Паскаля.

Формула Бинома-Ньютона. Треугольник Паскаля.

Ребята, на прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения. Сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок.
Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля:

Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.Давайте распишем несколько строк:

Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:

Как оказалось треугольника Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы.
Самое первое правило, которое мы с вами выучили, это квадрат суммы: (a+b)²=a²+2ab+b²

Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:
(a+b)³=(a²+2ab+b²)(a+b)=a³+3a²b+3ab²+b³.
Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:
(a+b)⁴=(a³+3a²b+3ab²+b³)(a+b)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

Выпишем для наглядности все наши формулы:
(a+b)¹=a+b.
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.

Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4.

Для второго слагаемого сумма показателей равна 3+1=4, для следующего -2+2=4 и так до самого конца сумма показателей равна 4.

Коэффициенты в правой части. - коэффициенты образующие треугольник Паскаля.

Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:

(a+b)ⁿ= aⁿ+ a^n-1b+ a^n-2b²+ a^n-3b³+…+ a ^n-kb ^k+ ab ^n-1+ bⁿ.

Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты.

Пример.
Раскрыть скобки:
а) (y+1)⁷; б) (z²−3t)⁵.

Задачи для самостоятельного решения

Избавьтесь от скобок:
а) (x+2)⁶;
б) (3x+2y)⁴;
в) (2z−2t)⁸;
г) (x−4y)⁵.