Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов

План

1. Векторное произведение векторов.

2. Смешанное произведение векторов.

3. Примеры

Вопрос 1. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор, значение которого можно вычислить по формуле:

Свойства векторного произведения

2) , где - некоторое число

3) (

4) Длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к началу векторах и .

Вопрос 2. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов геометрически равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому по модулю.

Вопрос 3. Примеры

Пример 1. Для векторов и вычислим векторное произведение.

Воспользовавшись формулой, получим . То есть смешанное произведение заданных векторов – это вектор .

Пример 2. Вычислим смешанное произведение векторов , и .

В первую очередь вычислим векторное произведение векторов и . По формуле получим .

Теперь вычислим скалярно на :

Таким образом смешанное произведение трёх заданных векторов равно -31.

Пример 3. Найдём объём параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Объём такого параллелепипеда равен смешанному произведению трёх заданных векторов. Векторное произведение векторов и было найдено в первом примере. Осталось вычислить скалярно на :

То есть объём параллелепипеда равен 14 куб.ед.

Пример 4. Найдём площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Площадь такого параллелограмма можно вычислить с помощью смешанного произведения:

Вычислим длину полученного вектора:

Площадь параллелограмма равна 42 кв.ед.