Производная, основные определения и понятия.

Производная, основные определения и понятия.

В этой статье дадим основные понятия, на которых будет базироваться вся дальнейшая теория по теме производная функции одной переменной.

Путь x – аргумент функции f(x) и - малое число, отличное от нуля.

(читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до при условии монотонности функции на отрезке . Разность называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.

Рассмотрим эти понятия на конкретном примере.

Возьмем, к примеру, функцию . Зафиксируем точку и приращение аргумента . В этом случае приращение функции при переходе от к будет равно

Отрицательное приращение говорит об убывании функции на отрезке .

Графическая иллюстрация

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Давайте разберем это на примерах для ясности картины. При дифференцировании будем пользоваться определением производной, то есть переходить к нахождению пределов. При возникновении трудностей рекомендуем обращаться к разделу теории пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Пример.

Найти производную функции в точке , используя определение.

Решение.

Так как мы ищем производную функции в точке, то в ответе должно быть число. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:

Осталось применить первый замечательный предел для получения конечного результата:

Ответ:

Пример.

Найдите производную функции на промежутке , пользуясь определением.

Решение.

Так как мы ищем производную функции на интервале, то в ответе должна получиться функция. Возьмем , где x – любое число из промежутка . По определению, производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента, стремящемся к нулю:

Таким образом, пришли к неопределенности. Для нахождения подобных пределов используют домножение на сопряженное выражение с последующим применением формул сокращенного умножения, приведением подобных слагаемых и сокращением:

Ответ:

при .

Давайте еще остановимся на одном очень важном моменте: область определения функции f(x) далеко не всегда совпадает с областью определения производной. Заметьте, в предыдущем примере областью определения исходной функции является промежуток , а производная определена на интервале . Что мы хотим этим сказать. Да то, что при дифференцировании в идеале ответ звучит так: функция является производной функции f(x) на промежутке

На основании определения производной получены многие формулы таблицы производных основных элементарных функций, которые очень ускоряют дифференцирование. Понятие производной также используется при доказательстве правил дифференцирования.