Построение графика квадратичной функции

§39 Построение графика квадратичной функции

На прошлой неделе мы рассмотрели частные случаи квадратичной функции y=x² и y=ax² (случаи, когда b=0 и c=0). На этой неделе будем строить график функции y=ax²+bx+c, где b и c не равны нулю.

Будем это делать по правилу:

1) Определяем направление ветвей параболы. Это зависит от знака старшего коэффициента. Если a положительно, ветви направлены вверх. Если a отрицательно, то вниз.

2) Ищем координаты вершины параболы по формулам

x₀=(-b):(2a)

y₀=ax₀²+bx₀+c

Точка с координатами (x₀;y₀) – вершина параболы.

3) Строим ось симметрии параболы (прямую, проходящую через вершину параболы, параллельно оси Oy).

4) Находим точки пересечения параболы с осями координат. Для этого сначала приравниваем x к нулю, находим y(0). Точка (0; y(0)) – точка пересечения с Oy.

Затем y приравниваем к нулю, находим нули (или корни) квадратичной функции.

y=0, значит ax²+bx+c=0.

Если получили два корня уравнения, то имеем две точки пересечения графика с осью Ox – (x₁;0) и (x₂;0).

Если получили один корень, то имеем одну точку пересечения графика с осью Ox – (x₁;0).

Если корней нет (дискриминант отрицательный), то график нашей функции ось Ox не пересекает.

5) Строим таблицу с дополнительными точками для более точного построения графика функции (достаточно 2 – 3 значений).

6) Строим в прямоугольной системе координат параболу по получившимся точкам и подписываем получившийся график функции.

Подробно разберём один пример, после чего вам предстоит самим построить два графика квадратичной функции по данному образцу.

Построим график функции y(x)=x² – 2x – 3 .

1) a=1, то есть a положительно, значит ветви параболы направлены вверх

2) Ищем вершину параболы

x₀=(-b):(2a), подставляем a=1, b=-2, получим x₀=2:2=1.

Теперь полученное значение x₀ подставим в нашу функцию вместо x, получим

y(1)=1²-2^.1-3=-4

Точка с координатами (1; -4) – вершина параболы

3) x=1 – ось симметрии параболы (прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Oy), график функции будет симметричен относительно этой прямой

4) Найдём точки пересечения нашей параболы с осями координат.

x=0, тогда y(0)=0²-2^.0-3=-3.

Таким образом, точка (0;-3) – точка пересечения графика функции с осью Oy.

y=0, тогда x²-2x-3=0. Решаем это уравнение по теореме Виета (помним, что если a не равно 1, то квадратное уравнение решается через дискриминант) x₁+x₂=2, x₁^.x₂=-3. Подбираем значения, получаем x₁=3, x₂=-1.

Таким образом, точки (3;0) и (-1;0) – точки пересечения графика функции с осью Ox.

5) Ищем дополнительные точки. Уже имеем точки:

(1;-4) – вершина параболы

(0;-3) – точка пересечения параболы с осью Oy

(3;0) и (-1;0) – точки пересечения параболы с осью Ox.

Значит в качестве дополнительных значений не можем брать x=1;0;3;-1.

x		-2
y	-3

y(2)=2²-2^.2-3=-3; y(-2)=(-2)²-2^.(-2)-3=5; y(4)=4²-2^.4-3=5.

Ставим все полученные точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной линией. Теперь строим график функции. Напоминаю о соблюдении масштаба (единичный отрезок должен быть одинаковым для обеих осей координат).