Метод выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата

Или квадрат с широкой костью, если угодно.

Начнем с определения. Что такое полный квадрат? Для начала придется вспомнить полезные формулы сокращенного умножения. А именно квадрат суммы и квадрат разности. Так вот, в этих формулах многочлен стоящий после знака «равно» и называется полным квадратом. Потому что он равен квадрату некоторого другого выражения. Всё логично.

А теперь разберемся, что значит выделять полный квадрат, а главное зачем.

Допустим, у вас есть многочлен, содержащий квадрат чего-то и произведение этого чего-то на что-то другое. Я понятно объясняю? Если нет, смотрите пример. Здесь у нас есть квадрат икса и еще один одночлен, содержащий икс в первой степени.

При наличии такого набора, мы можем выделить полный квадрат в этом выражении. Давайте сравним его с формулой. Так как перед произведением 8x стоит плюс, то выберем квадрат суммы.

Легко заменить, что в нашем выражении в качестве a выступает x. Значит 8x должно быть удвоенным произведение. Найдем b. Для этого представим 8x в виде произведения.

Не трудно заменить, что b = 4. Добавим немного математической магии. Для полного квадрата нам не хватает квадрата b. У нас b = 4, значит нам не хватает 16. Добавим. А чтобы выражение не изменилось вычтем 16.

Фактически ничего не изменилось. Только форма. И благодаря этому, мы можем записать первые три слагаемых как квадрат суммы.

Фокус удался. Но остается важный момент. Зачем? Знаете, какие уравнения школьники любят больше всего? Квадратные. Потому что они супермегапросты. Две формулы. Подставить нужные числа и всё. Но мало кто из них догадывается, что решая любое квадратное уравнение, они фактически занимаются выделением полного квадрата.

Например, выражение в котором мы выделяли полный квадрат, можно приравнять к нулю и получить квадратное уравнение. Его можно решить не прибегая к формулам.

Но это еще не доказывает, что при решении любого квадратного уравнения используется выделение полного квадрата. Так что давайте посмотрим, как выводятся формулы.

Такое детям лучше не показывать. Оставить их в счастливом неведении относительно того, откуда берутся формулы, что они используют. С другой стороны, если кто-то из них задастся вопросом почему эти формулы работают, возрадуемся и расскажем в чем дело.

Опять получилось много букв, поэтому другие способы применения этого метода придется отложить до лучших времен.