Функция видаy=ax2+bx+c, гдеa,b,c— реальные числа,a≠0, называется квадратичной функцией.

АЛГЕБРА-8КЛАСС

Построение графика квадратичной функции

Теория:

Функция видаy=ax2+bx+c, гдеa,b,c— реальные числа,a≠0, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения функции D(f) — все действительные числа.

Область значений функции E(f) считывается с графика, она зависит от координаты y, вершины параболы и направления ветвей параболы.
1 пример — E(f)=[−2;+∞);
2 пример — E(f)=(−∞;2].

Параметр a определяет направление ветвей параболы:
если a>0, то ветви направлены вверх (см. пример 1);
если a<0, то ветви направлены вниз (см. пример 2).

Параметр c указывает, в какой точке парабола пересекает ось Oy.

Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b/2a и y0 — которую находят, подставив значение x0 в формулу функции;

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;

3) определить направление ветвей параболы;

4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy;

5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.

Решив квадратное уравнение ax2+bx+c=0, получаем точки пересечения параболы с осью Ox, или корни функции (если дискриминант D>0);

если D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует;

если D=0, то вершина параболы находится на оси Ox.

Но не всегда точки пересечения с осью Ox являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из D, то такие точки не используют для построения графика.

1. Построй график функции y=x2−2x−1.

x0=−b/2a=22=1; y0=12−2⋅1−1=−2. Ветви параболы направлены вверх, т. к. a=1>0. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;−1).

x
y	−1

Симметрично строим левую сторону параболы

2. Построй график функции y=−2x2+4x.

В данном случае легко вычислить корни: −2x2+4x=0; x(−2x+4)=0; x=0, или −2x+4=0; x=2; x1=0; x2=2. Координаты вершины параболы: x0=−42⋅(−2)=1; y0=−2⋅12+4⋅1=2. В таблице достаточно одного значения: если x=3, то y=−2⋅(3)2+4⋅3=−18+12=−6. Симметрично, если x=−1, то y=−6