Лекция. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Рассмотрим два события А и Н. Каковы бы ни были взаимоотношения между событиями А и Н, всегда можно сказать, что вероятность события А равна вероятности пересечения событий А и Н плюс вероятность пересечения А и дополнения Н (событие

). Поясним сказанное на диаграмме Венна (рис.1). Разложение А на части зависит от

. Р(А) = Р(А

Н) + Р(А∩

Рис. 1. Диаграмма Венна к формуле (1)

Наборы и – форма расчленения набора A на два подмножества взаимно несовместных событий. События Н и взаимно противоположны. Событие А может произойти либо с Н, либо с , но не с двумя вместе (см. рис. 1).

Рассмотрим более сложный случай. Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одним из событий Н₁, H₂, H₃,..., H_n, образующих полную группу, т. е. эти события являются единственно возможными и несовместными (рис. 2). Так как заранее неизвестно, какое из событий Н₁, H₂, H₃,..., H_n наступит, то их называют гипотезами. Пусть также известны вероятности гипотез Р(Н₁), Р(Н₂),…, Р(H_n) и условные вероятности события А, а именно: Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),…, Р(А/Н_n).

Так как гипотезы образуют полную группу, то

Рассмотрим событие А – это или Н₁·А, или … Н_n·А. События Н₁·А, Н₂·А, …, Н_n·А – несовместные попарно, так как события Н₁, H₂, H₃,..., H_n попарно несовместны. К этим событиям применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

Р(А)=Р(Н₁·А)+Р(Н₂·А) +…+ Р(Н_n ·А) = .

События Н₁и А, Н₂ и А,..., Н_n и А – зависимые. Применив теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим (рис. 2):

Р(А) = Р(Н₁)∙Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)∙Р(А/Н₂) +...+Р(Н_n)∙Р(А/Н_n) = .

Рис. 2. Событие А может осуществляться лишь с одним

из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий

Проиллюстрируем сказанное на примере с колодой карт. Определим А как событие, состоящее в извлечении карты с картинкой (т. е. карты с изображением или туза, или короля, или дамы, или валета). Пусть события В, С, D, Е означают извлечение карт различной масти («трефы», «бубны», «черви», «пики»). Мы можем сказать, что вероятность извлечь из колоды карту с изображением туза, короля, дамы или валета есть Р(А) = Р(А∩В) + Р(А∩С) + Р(А∩D) + Р(А∩Е) = 4/52 + 4/52 + 4/52+4/52 = 16/52. Это означает, как мы уже знаем, вероятность извлечения карты с картинкой из колоды в 52 карты. Событие А представляет собой набор, составленный из пересечений А с наборами В, С, D, Е (рис. 3). Рис. 3. Пример с колодой карт

Вывод.Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n на соответствующую условную вероятность события А.

Случай двух событий: .

Случай более чем двух событий: , где i = 1, 2, ..., п.

Пример. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, в случае успешного развития экономики страны, и эта же вероятность составит 0,30, если произойдет спад экономики. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение:Событие А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Составим рабочую таблицу:

H_i	Гипотезы H_i	Р(H_i)	P(А/H_i)	Р(H_i)P(А/H_i)
	H₁ – «подъем экономики»	0,80	0,75	0,60
	H₂ – «спад экономики»	0,20	0,30	0,06
∑		1,00	–	P(А) = 0,66

Пример.В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложен один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после перекладывания, окажется черным.

Решение:Событие А – «шар, извлеченный из урны 2, – черный». Составим рабочую таблицу:

H_i	Гипотезы H_i	Р(H_i)	P(А/H_i)	Р(H_i)P(А/H_i)
	H₁ – «из урны 1 в урну 2 переложили черный шар»	6/10	7/11	42/110
	H₂ – «из урны 1 в урну 2 переложили белый шар»	4/10	6/11	24/110
∑		1,00	–	Р(А) = 0,60