Домашнее задание по алгебре на 17.05.2021

Домашнее задание по алгебре на 17.05.2021

1. Задание 1

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответе запишите полученную последовательность четырёх цифр.

Населённые пункты	Кулаки	Илькино	Осинки	Кудрино
Цифры

Гена летом отдыхает у дедушки в деревне Осинки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кудрино. Из деревни Осинки в Кудрино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Илькино до деревни Кулаки, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Кудрино. Есть и третий маршрут: в Илькине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Кудрино.

По шоссе Гена с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Пользуясь описанием и рисунком можно заметить, что деревня Кулаки соответствует цифре 4, деревня Илькино — цифре 1, деревня Осинки — цифре 2 и деревня Кудрино —цифре 3.

Ответ: 4123.

Ответ: 4123

2. Задание 2

Найдите расстояние от деревни Осинки до села Кудрино по прямой. Ответ выразите в километрах.

Решение.

Расстояние от деревни Осинки до села Кудрино соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 40.

Ответ: 40

3. Задание 3

Сколько километров проедут Гена с дедушкой, если они поедут по шоссе через деревню Кулаки?

Решение.

Расстояние, которое проедут Гена с дедушкой, проезжая через Кулаки, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 32 + 24 = 56.

Ответ: 56.

Ответ: 56

4. Задание 4

Сколько времени затратят на дорогу Гена с дедушкой, если они поедут сначала до Илькино, а затем свернут на грунтовую дорогу, идущую мимо озера? Ответ выразите в минутах.

Решение.

По шоссе Гена с дедушкой проедут 22 километра со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят 22 : 60 = 0,37 часа или 22 минуты. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 24 и 10. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гена с дедушкой едут со скоростью 40 км/ч, следовательно они затратят 26 : 40 = 0,65 часа или 39 минут.

Таким образом, Гена с дедушкой на весь путь затратят 22 + 39 = 61 минута.

Ответ: 61.

Ответ: 61

5. Задание 5

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гена с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Решение.

Гена с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч дедушка с Геной потратят 40 : 40 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Гена с дедушкой проедут 22 километра со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят часа или 22 минуты. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 24 и 10. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

Таким образом, Гена с дедушкой на весь путь затратят 22 + 39 = 61 минута.

3) По шоссе через Кулаки. Расстояние, которое проедут Гена с дедушкой, проезжая через Кулаки, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 32 + 24 = 56.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч, Гена с дедушкой потратят часа или 56 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 56 минут.

Ответ: 56.

Ответ: 56

6. Задание 6

Найдите значение выражения .

Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 81.

Ответ: 81

7. Задание 7

На координатной прямой отмечены числа x и y.

Какое из приведённых утверждений неверно?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Заметим, что Число располагается ближе к нулю, чем число следовательно, Рассмотрим каждое утверждение:

1) — неверно.

2) — верно.

3) — верно.

4) — верно.

Ответ указан под номером: 1.

Ответ: 1

8. Задание 8

Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

При , значение полученного выражения равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

9. Задание 9

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

Тем самым это числа −4 и 1.

Ответ: −41.

Ответ: -41

-41

10. Задание 10

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 11 с машинами и 9 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Илюша. Найдите вероятность того, что Илюше достанется пазл с машиной.

Решение.

Вероятность того, что Коле достанется пазл с машиной равна

Ответ: 0,55.

Ответ: 0,55

0,55

11. Задание 11

На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x).

Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.

1) Функция возрастает на промежутке [2; +∞)

2) f( −1 ) < f( 5 )

3) Наименьшее значение функции равно −9

Решение.

Проверим каждое утверждение.

1) На луче [2; +∞) большему значению аргумента сответствует большее значение функции. Следовательно, функция возрастает на этом луче; первое утверждение верно.

2) Значения фунцкии в точках −1 и 5 равны нулю, поэтому f(−1) = f(5). Второе утверждение неверно.

3) Наименьшее значение функции равно −9. Третье утверждение верно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

12. Задание 12

Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с²). Пользуясь этой формулой, найдите (в килограммах), если а

Решение.

Выразим массу: Подставим значения переменных:

Ответ: 7.

Ответ: 7

13. Задание 13

На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

Решение.

Решим неравенство:

Ответ: 3.

Ответ: 3

14. Задание 14

Грузовик перевозит партию щебня массой 90 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за десятый день, если вся работа была выполнена за 12 дней.

Решение.

Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонны; норма перевозки увеличивалась ежедневно на тонн. Таким образом,

Имеем:

Следовательно, за десятый день было перевезено 11 тонн щебня.

Ответ: 11.

Ответ: 11

15. Задание 15

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании. Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны. Значит, каждый из них равен 110°. Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому меньший угол равен 180° − 110° = 70°.

Ответ: 70.

Ответ: 70

16. Задание 16

Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 66 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

Решение.

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, и равны как радиусы окружности, — общая, следовательно, эти треугольники равны. Откуда Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Следовательно, расстояние от хорды до параллельной ей касательной равно 56 + 65 = 121.

Ответ: 121.

Ответ: 121

17. Задание 17

В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — 10, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 60°. Найдите площадь ромба, деленную на

Решение.

Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними:

Ответ: 50.

Ответ: 50

18. Задание 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Решение.

Площадь данной фигуры равна выделенным клеткам. Посчитаем клетки — их 15. Таким образом, площадь равна 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

19. Задание 19

Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым» — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2) «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны» — верно, т. к. квадрат — частный случай ромба.

3) «В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности» — верно, т. к. окружность — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20. Задание 20

Решите систему уравнений

Решение.

Правые части уравнений системы равны, значит,

откуда или

При получаем При получаем

Решения системы уравнений: и

Ответ:

Критерии проверки:

21. Задание 21

Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.

Пусть км — искомое расстояние, .

Составим таблицу по данным задачи:

Так как второй автомобиль вышел на 1 ч. позже первого, составим уравнение:

Ответ: 220 км.

Другое решение:

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 4 часа, и проехал за это время 220 километров.

Ответ: 220 км.

Критерии проверки:

220 км.

22. Задание 22

Постройте график функции Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно две общие точки при и

Ответ: −0,25; 6,25.

Критерии проверки:

−0,25; 6,25.

23. Задание 23

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть точка — середина стороны Поскольку то треугольник — равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 60°, следовательно, углы при основании равны значит, треугольник — равносторонний. Угол равен Аналогично получаем, что треугольник — равносторонний. Найдём угол Аналогично двум предыдущим треугольникам получаем, что треугольник — равносторонний. Получили, что площадь трапеции равна сумме площадей трёх равных равносторонних треугольников:

Ответ:

Критерии проверки:

24. Задание 24

В окружности с центром проведены две равные хорды и . На эти хорды опущены перпендикуляры и . Докажите, что и равны.

Решение.

Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

Критерии проверки:

25. Задание 25

В треугольнике биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении , считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если .