ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

Часть А

1. Корень n-ой степени. Свойства корня n-ой степени. Обобщение понятия о показателе степени

2. Понятие логарифма и его свойства. Основное логарифмическое тождество.

3. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

4. Логарифмические уравнения. Приемы решения. Примеры.

5. Логарифмическая функция. Ее свойства, график

6. Тригонометрические функции. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

7. Радианная мера угла. Переход от градусной меры к радианной и наоборот.

8. Зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

9. Формулы двойного угла. Формулы сложения.

10. Решение простейших тригонометрических уравнений.

11. Тригонометрические функции. Область определения и множество значений тригонометрических функций.

12. Обратные тригонометрические функции.

13. Основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания.

14. Теория вероятностей. Событие, вероятность события.

15. Зависимость и независимость событий. Совместность и несовместность событий. Противоположность событий.

16. Теория вероятностей. Сложение и умножение вероятностей.

17. Приращение функции и приращение аргумента. Определение производной.

18. Физический и механический смысл производной.

19. Уравнение касательной к графику функции

20. Правила и формулы дифференцирования.

21. Применение производной для нахождения экстремума функции

22. Понятие интеграла и первообразной

23. Теорема Ньютона – Лейбница

24. Стереометрия. Основные аксиомы стереометрии и следствия из аксиом.

25. Прямые и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

26. Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность прямой и плоскости.

27. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Перпендикулярность двух плоскостей.

28. Двугранный угол. Угол между плоскостями.

29. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Формула Эйлера.

30. Призма и ее свойства. Прямая и наклонная призмы.

31. Правильная призма. Площадь боковой и полной поверхности призмы.

32. Куб. Параллелепипед и его свойства. Объем куба. Объем параллелепипеда.

33. Пирамида и ее свойства. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

34. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

35. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

36. Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Основания, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Площадь боковой и полной поверхности.

37. Тела и поверхности вращения. Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Площадь боковой и полной поверхности.

38. Шар и сфера. Площадь поверхности сферы.

39. Сечения шара и сферы.

40. Формулы объема пирамиды, цилиндра и конуса. Формула объема шара.

Часть В

1. Упростите выражение : и найдите его значение при х = 2,25

2. Расположите числа в порядке возрастания

3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: 4,(8);

-2,6(93).

Расположите числа в порядке возрастания
Вычислите: log₄5 + log ₄25 + log₄
Вычислите: log₃72 - log₃ + log₃18
Вычислите: log₄ + log₄36 + log₄
Решите логарифмическое уравнение:
Решите логарифмическое уравнение
Решите логарифмическое уравнение log₃ (3x -5) = log₃ (x - 3)
Решите логарифмическое уравнение
Решите логарифмическое уравнение
Решите логарифмическое уравнение lg ( 3 - x) - lg ( x + 2) = 2 lg2
Упростите выражение:
Упростите выражение:
Упростите выражение: 1 + cos² a - sin² a
Упростите выражение:
Найдите cos a и tg a, если sin и a - угол II координатной четверти
Найдите cos a и tg a, если sin a = 0,6 и a - угол I координатной четверти
Найдите cos a и tg a, если sin a = - 0,8 и a - угол III координатной четверти
Найдите sin a и tg a, если cos a = 0,6 и a - угол I координатной четверти
Решите тригонометрическое уравнение:
Решите тригонометрическое уравнение: sin² x − 0,25 = 0
Решите тригонометрическое уравнение: 2 cos x + = 0
Решите тригонометрическое уравнение: 2 sin² x + sin x − 1 = 0
Решите тригонометрическое уравнение: 2 sin² x + 7sin x − 4 = 0
Решите тригонометрическое уравнение:
Решите тригонометрическое уравнение: 2 cos x − = 0
Решите показательное уравнение:
Решите показательное уравнение: 2 ∙ 4^2х - 17 ∙ 4^х+ 8 = 0
Решите показательное уравнение: 3^2х - 4 ∙ 3^х + 3 = 0
Решите показательное уравнение:
Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = 5 - х² в точке х₀ = 2.
Составьте уравнение касательной к графику функции f(х) = e^2х в точке х₀ = 0.
Запишите уравнение касательной к графику функции f(х) = 3 х³ + 5х в точке ( 1; 8).

36. Найдите производную функции

37. Найдите значение производной функции в точке

Найдите производную функции

39. Найдите производную функции

Найдите производную функции y= х⁵ – х ( х³ + 7).
Найти промежутки возрастания функции y = х² – 2х + 3.
Исследуйте функцию f(х) = 3х⁵ – 20 х³ на возрастание (убывание) и экстремумы.
Исследуйте функцию f(х) = х⁴ + х³ – 3 на возрастание ( убывание).
Вычислите интеграл
Вычислите интеграл .
Вычислите интеграл
Вычислите интеграл

48. Вычислите интеграл

Найдите общий вид первообразной для функции f (х) = - sin 3х
Найти первообразную функции f (х) = 3х² + 2 х – 1, график которой проходит через точку М ( 2;4).
Найдите первообразную функции х - 3
Для функции f(х) = (2х + 5)⁶ найдите первообразную, график которой проходит через точку М (- 2; 3).

53. В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные голубые. Извлекают 2 шара. Найти вероятности, что оба шара белые.

54. В первой урне содержится 8 синих и 10 желтых шаров, во второй 4 белых и 12 желтых шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара желтого цвета.

Алфавит некоторого языка содержит 12 букв. Сколько существует трехбуквенных слов, составленных из букв этого алфавита, если буквы в словах могут повторяться?
Алфавит некоторого языка содержит 12 букв. Сколько существует трехбуквенных слов, составленных из букв этого алфавита, если буквы в словах не могут повторяться?
В корзине 16 шаров, из них 14 белых, остальные синие. Извлекают 2 шара. Найти вероятности событий того, что оба шара синие; первый шар белый, а второй синий.
На дежурство из 3 мальчиков и 4 девочек случайно отбирают 4 дежурных. Сколькими способами их можно отобрать при условии, что будут отобраны 2 мальчика и 2 девочки?
Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элемента соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5. Найти вероятность того, что за это время откажут все три элемента.

60. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?

61. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а радиус основания – 6 см. Найдите высоту цилиндра.

62. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12см, а апофема - 15см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

63. В основании правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат со стороной 4 см. Диагональ призмы AC₁ образует с плоскостью основания ABCD угол 60°. Найдите высоту призмы и площадь полной поверхности.

64. Диагональ правильной четырехугольной призмы составляет с боковой гранью угол 60°. Найдите объем призмы, если сторона основания 8см

Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь и объем усеченного конуса.
Найдите полную площадь поверхности и объем пирамиды, у которой высота равна 2 м, а основанием пирамиды является квадрат со стороной 3 м.

67. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см, 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 60°. Найдите объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

68. Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если S_полн=90см², S_бок=40см².

69. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм ². Найдите радиус цилиндра.

Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник со стороной 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой поверхности и объем призмы.
В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 25 см², а высота 4 см. Найдите диагональ и объем призмы.
Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 5 см, высота призмы равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности.
Радиус окружности, описанной около основания правильной шестиугольной призмы, равен 3 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её высота равна 10 см.

74. Диагональ правильной четырехугольной призмы составляет с боковой гранью угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности и объем призмы, если сторона основания см.

75. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288 см². Найдите радиус основания цилиндра.

76. Диагональ правильной четырехугольной призмы составляет с боковой гранью угол 60°. Найдите объем призмы, если сторона основания 6 см.

77. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти отношение объёмов конуса и шара.

78. Радиус шара равен R=5. Найдите площадь полной поверхности вписанного в шар куба.

79. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 12 см, а образующая равна 17см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения.

80. В основании правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат со стороной 8 см. Диагональ призмы AC₁ образует с плоскостью основания ABCD угол 30°. Найдите высоту призмы и площадь полной поверхности.