Резонанс напряжений. Резонанс токов

Резонанс напряжений

В цепи, изображенной на схеме, при резонансной частоте изменения тока и напряжения происходят синфазно. При этом падение напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности равны и противоположны по фазе. В этом случае падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи. Это явление называется резонансом напряжений.

При резонансе напряжений сопротивление цепи оказывается чисто активным и имеет наименьшее значение при данных параметрах цепи.

Резонанс токов

Если цепь с пренебрежимо малым активным сопротивлением собрана по схеме, приведенной на рисунке, то при резонансной частоте токи на участке конденсатора и катушки индуктивности могут быть очень велики, но они противоположны по фазе, поэтому ток в подводящих проводах близок к нулю. Это явление называют резонансом токов.

При резонансе токов сопротивление цепи чисто активное и имеет наибольшее значение при данных параметрах.

10.Электромагнитное поле. Основные положения теории Максвелла. Вихревое электрическое и потенциальное магнитное поле. Ток смещения. Уравнения Максвелла в интегральной форме. Электромагнитные волны и их свойства. Шкала электромагнитных волн.

1) Электромагнитное поле.

Электромагнитное поле - это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. Представляет собой взаимосвязанные переменные электрическое поле и магнитное поле. Взаимная связь электрического Е и магнитного Н полей заключается в том, что всякое изменение одного из них приводит к появлению другого: переменное электрическое поле, порождаемое ускоренно движущимися зарядами (источником), возбуждает в смежных областях пространства переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, возбуждает в прилегающих к нему областях пространства переменное электрическое поле, и т. д. Таким образом, электромагнитное поле распространяется от точки к точке пространства в виде электромагнитных волн, бегущих от источника. Благодаря конечности скорости распространения электромагнитное поле может существовать автономно от породившего его источника и не исчезает с устранением источника (например, радиоволны не исчезают с прекращением тока в излучившей их антенне).

Электромагнитное поле (и его изменение со временем) описывается в электродинамике в классическом приближении посредством системы уравнений Максвелла.

2) Основные положения теории Максвелла.

Рассмотрим проводящий виток, помещенный в изменяющееся магнитное поле.

Рис.34. Направление индукционного тока.

По закону Фарадея в витке возникает ЭДС индукции. Направление индукционного тока таково, что он своим действием препятствует изменению магнитного поля. Если внешнее магнитное поле возрастает, его изменение DВ направлено по полю, и направление индукционного тока должно быть таким, чтобы магнитный момент витка I_инд S был направлен против поля В. Величина ЭДС индукции определяется выражением

E = - ; Ф = .

Если виток не изменяет своей формы, то знак производной можно внести под знак интеграла. Тогда получим:

E = - ,

где наклонные означают частную производную (предполагается, что значения В могут зависеть от времени и координат).

Согласно своему определению ЭДС характеризует работу, совершаемую сторонними силами по всему замкнутому контуру (витку), т.е. E = , где Е представляет собой напряженность сторонних сил, создающих индукционный ток. Виток замкнут и однороден, поэтому силовые линии электрического поля тоже должны быть замкнутыми, т.е. индуцированное в проводнике электрическое поле является вихревым. Максвелл предположил, что наличие проводника не является обязательным: силовые линии электрического поля останутся замкнутыми и в свободном пространстве. На основании этого он сделал вывод, что всякое изменяющееся во времени магнитное поле порождает вокруг себя вихревое электрическое поле. Это положение называют первой гипотезой Максвелла, Закон Фарадея теперь записывается так:

. ( I )

Кроме этого существует второе положение теории Максвелла, которое вытекает из рассмотрения теоремы о циркуляции магнитного поля. Как было показано, циркуляция магнитного поля имеет следующий вид:

Рис.35. К выводу теоремы о полном токе.

Это значит, что любое магнитное поле порождается токами. При рассмотрении переменного тока в цепи, содержащей конденсатор, можно было заметить, что линии тока прерываются на его пластинах - в пространстве между пластинами ток отсутствует. Тогда оказывается, что выбирая контур интегрирования L внутри этой области, можно нарушить теорему о циркуляции. Максвелл предположил, что теорема о циркуляции вектора

магнитной индукции остается справедливой и для контура L за счет того, что в пространстве между пластинами также имеется некий «волшебный» ток I_волш , причем полный ток в цепи складывается из тока проводимости I_пров и этого «волшебного» тока ,т.е.
.

В проводниках I_пров = I_полн , а в пространстве между пластинами I_полн = I_волш . Нетрудно видеть, что при этих условиях теорема о циркуляции справедлива везде.

Обратимся к рассмотрению «волшебного тока» внутри пластин конденсатора. Мы знаем, что ток I_пров =dQ/dt. На конденсаторе Q = Ss (s - плотность поверхностных зарядов, а S – площадь пластин конденсатора). Напряженность электрического поля внутри конденсатора равна E = s/e₀ или D₀ = s , где D₀ = e₀ E – вектор электрического смещения. С учетом этого запишем

В то же время очевидно, что I_пров = I_волш, поэтому последний ток Максвелл назвал током смещения. Теперь теорема о циркуляции принимает новый вид, где под знаком суммы стоит полный ток I_полн:

Для проводников произвольного сечения и для произвольной формы пластин конденсатора токи выражаются через соответствующее суммирование плотности токов:

I_пров = ; I _смещ = ,

так что теорема о полном токе приобретает следующий вид:

. (II)

Если проводники отсутствуют, ток проводимости равен нулю, и уравнение (II) имеет вид:

. (III)

Таким образом, второе положение теории Максвелла может быть сформулировано так:

Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вокруг себя магнитное вихревое поле.

Уравнения (I) и (II) называются уравнениями Максвелла. Вместе с уравнениями

и .

они составляют так называемую систему уравнений Максвелла, полностью описывающую свойства электрического и магнитного полей.

3) Вихревое электрическое и потенциальное магнитное поле.

Связь электрических и магнитных полей позволила сделать Дж.Максвеллу предположение, которое впоследствии было подтверждено экспериментально: Всякое меняющееся со временем магнитное поле связано с существованием электрического поля.

Пусть какой-либо проводящий контур находится в меняющемся со временем магнитном поле и равен . (S-const)

В проводнике в этом случае существует электрическое поле, вызывающее движение электрических зарядов, т.е. индукционный ток. Гипотеза Дж.Максвелла предполагает, что электрическое поле возникает в пространстве при изменении магнитного поля независимо от того, расположен ли в этом месте проводник или его нет. Наличие проводника лишь позволяет убедиться в существовании такого электрического поля.

Постоянное магнитное поле (поле постоянных токов, текущих по неподвижным относительно друг друга проводникам, или поле неподвижных относительно друг друга магнитов) действует только на токи, но на неподвижные заряды не влияет. Но меняющееся со временем магнитное поле создает электрическое поле, действующее и на неподвижные заряды

Электрическое поле, возникающее в пространстве, где есть меняющееся магнитное поле, существенно отличается от электростатического поля:

* оно не связано с наличием электрических зарядов;

* линии вектора напряженности в нем замкнуты;

* циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру не равна нулю, т.е.

(для электростатического поля во всех случаях).

Покажем, что , если контур пересекается переменным магнитным полем.

Разность потенциалов V₁ - V₂ между двумя точками поля связана с напряженностью поля: V₁ - V₂= . Если интеграл распространить на весь контур, то вместо V₁ - V₂ надо ввести ЭДС индукции: _и = , но _и = - , т.о.

= - . Если ¹ 0, то . Это означает, что возникающее электрическое поле вихревое.

4) Ток смещения

В колебательном контуре ток и напряжение на пластинах конденсатора меняется по гармоническому закону. В «обычной» цепи ток проводимости есть в любой ее части: в подводящих проводах, в активном сопротивлении, в катушке индуктивности, источнике тока существует направленное перемещение заряженных частиц. Цепь с конденсатором в этом отношении «необычна»: между пластинами конденсатора нет тока проводимости - направленного перемещения зарядов. Это относится и к колебательному контуру: в конденсаторе нет тока проводимости, но во всех остальных частях цепи он существует.

Токи проводимости на всех участках цепи, где они существуют, создают магнитное поле. При изменении электрического поля в конденсаторе также возникает магнитное поле. Оно ничем не отличается от поля, создаваемого токами проводимости. Дж.Максвелл предложил считать, что в конденсаторе существует особый вид электрического тока, не связанный с направленным перемещением заряда, и предложил называть его током смещения. Ток смещения существует между пластинами конденсатора и тогда, когда между ними нет диэлектрика (вакуумный конденсатор), он не сопровождается выделение тепла.

Если сила тока проводимости определяется зарядом, проходящим в секунду через поперечное сечение проводника: I _{проводимости} = , где dQ заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время dt. Аналогично сила тока смещения определяется той же формулой: I _{смещения}= , но в этом случае dQ - изменение заряда конденсатора за время dt.

Поскольку Q = CU, где U - напряжение на конденсаторе емкости C, то dQ = C dU, но для однородного поля между пластинами конденсатора , где - расстояние между пластинами конденсатора, отсюда dU = dE, тогда dQ = C dE. Ток смещения в этом случае определится как I _{смещения}= = С (Обратите внимание: ток проводимости пропорционален напряженности электрического поля I _{проводимости}, = dSE, то ток смещения пропорционален первой производной от напряженности электрического поля по времени)

Преобразуем полученную формулу, учитывая, что для плоского конденсатора , электрическое смещение D = ee_-E, поток вектора электрического смещения Y=DS, тогда имеем I _{смещения} = = С = = , т.е. сила тока смещения пропорциональна скорости изменения потока вектора электрического смещения.

В конденсаторе колебательного контура ток смещения достигает наибольшего значения в те моменты, когда напряжение на конденсаторе и поток вектора электрического смешения равны нулю. В этот момент и ток проводимости в подводящих проводах имеет максимальное значение.

Дж.Максвелл ввел понятие полного тока, плотность которого определяется геометрической суммой плотностей тока проводимости и тока смещения. Полный ток в цепи всегда замкнут.

где =

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного пля по замкнутому контурку с учетом полного тока должна быть записана в виде:

, т.е. или .

Ток смещения имеется всюду, где есть меняющееся электрическое поле, следовательно, он существует и в проводниках, по которым течет переменный электрический ток (при не очень высоких частотах ток смещения мал по сравнению с током проводимости).

5) Уравнения Максвелла в интегральной форме.

Первое уравнение Максвелла является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое уравнение Максвелла имеет вид:

, (1, a)

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь j_n — проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S, — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3×10¹⁰ см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

Второе уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

, (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь B_n — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу для направления индукционного тока.

Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

, (1, в)

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое уравнение Максвелла (обычно называемое Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

, (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

6) Электромагнитные волны и их свойства.

Рис.36. К вычислению циркуляций для векторов Е и В.

Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о существовании электромагнитных волн. Для того, чтобы показать это, рассмотрим уравнения (I) и (III) в применении к конкретным полям. Пусть имеется некоторая система координат Х,Y,Z, как показано на рис.36, и в начале координат какими-то внешними причинами созданы электрическое и магнитное поля, характеризующиеся векторами Е и В соответственно. Направления этих векторов указаны на рис.

Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции

векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длинного соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях

или

Аналогично для вектора В

Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что вектора на соответствующих отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значения циркуляции в уравнения (I) и (III), получим:

и , откуда

; , где производная по х имеет смысл частной производной, поэтому правильнее заменить знак на знак частной производной :

; .

Дифференцируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные результаты, имеем: .

Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени: .

Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из уравнений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой,

Рис.37. Структура электромагнитной волны.

поэтому волны названы электромагнитными. Подставляя численные значения e₀ и m₀,получим, что v = c = 3×10⁸ м/c, т.е. скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Если волна распространяется в среде, характеризующейся постоянными e и m, то скорость электромагнитной волны

- показатель преломления среды относительно вакуума. Электромагнитные волны обладают следующими свойствами:

· волны поперечны,т.к. вектора Е и В направлены по осям Y и Z, тогда как волна распространяется вдоль оси Х.

· волны поляризованы, т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцированному им электрическому.

Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого совпадает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сохраняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется плоской, и ее можно записать так:

В этом выражении - волновое число, l = сТ, w=2p/T. Формула плоской электромагнитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Световыми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет содержит не менее семи основных цветов. Для упрощения математических выкладок часто ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.

7) Шкала электромагнитных волн.

Электромагнитное излучение принято делить по частотным диапазонам (см. таблицу). Между диапазонами нет резких переходов, они иногда перекрываются, а границы между ними условны. Поскольку скорость распространения излучения (в вакууме) постоянна, то частота его колебаний жёстко связана с длиной волны в вакууме.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒