Практическое занятие №26 Расчет геометрических и кинематических параметров цилиндрических зубчатых колес

Практическое занятие №26 Расчет геометрических и кинематических параметров цилиндрических зубчатых колес

Важное место в расчётах волновых передач с гибким зубчатым колесом и с промежуточной змеевидной пружиной занимает выбор профилей зубьев. Эвольвентные зубья применяли в первых конструкциях волновых передач и широко используют в настоящее время. Это объясняется известными технологическими преимуществами эвольвентного профиля, возможностью применения существующего стандартного инструмента и оборудования, а также способностью обеспечить многопарность зацепления. Основные геометрические и кинематические параметры мелкомодульных эвольвентных цилиндрических зубчатых передач, приведённые ниже, позволят легче ориентироваться в методиках расчёта волновых передач.

Цилиндрическая передача состоит из двух зацепляющихся зубчатых колес, меньшее из которых называется шестерней, а большее - колесом. Термин «зубчатое колесо» используется как для шестерни, так и для колеса. Обозначения, относящиеся к шестерне и колесу, снабжаются, соответственно, индексами 1 и 2.

Мнимые цилиндрические поверхности зубчатых колес, описываемые мгновенной осью ww их относительного движения, называются аксоидны- ми (рис. 1.7). Аксоидныс поверхности существуют только в парс зубчатых колёс и при постоянном передаточном отношении представляют собой круговые цилиндры. Такие передачи будут рассматриваться в дальнейшем.

Линии пересечения боковых поверхностей зубьев с любой цилиндрической поверхностью, соосной с аксоидой, называются линиями зубьев. В цилиндрических зубчатых передачах аксоидные поверхности совпадают с начальными. Начальные поверхности - это мнимые поверхности зубчатых колес, касающиеся друг друга, линии зубьев на которых имеют общую касательную. Вдоль этой касательной направлен вектор V|2 относительного движения колес, при параллельных осях равный нулю. Линия касания начальных цилиндров называется полюсной линией, которая в цилиндрических передачах совпадает с мгновенной осью относительного движения.

Рис. 1.7. Аксоидные поверхности цилиндрических зубчатых колёс: а-с внешним зацеплением; б-с внутренним зацеплением

При пересечении начальных цилиндров плоскостью, перпендикулярной осям 0 и OiOj, получаются начальные окружности, точка касания которых называется полюсом зацепления. Начальные окружности являются центроидами относительного движения зубчатых колес.

Аксоидные поверхности могут иметь внешнее или внутреннее касание (рис. 1.7), и в соответствии с этим существуют цилиндрические передачи внешнего и внутреннего зацеплений. Если линия зубьев колеса прямая, параллельная его оси, то зубья называются прямыми, а соответствующие зубчатые колеса - прямозубыми. При винтовой линии зубьев последние называются косыми; а зубчатые колеса с такими зубьями - косозубыми. В зависимости от направления винтовой линии зубьев различают правый и левый наклон зубьев.

Кинематической характеристикой зубчатой передачи является передаточное отношение /, представляющее отношение угловых скоростей ведущего (<у,) и ведомого (со₂) зубчатых колес. Например, при ведущей шестерне /_|2 = со, / со₂. Отношение числа зубьев колеса Z2 к числу зубьев шестерни Z (или отношение начальных окружностей) называется передаточным числом и.

Отношение угловых скоростей зубчатых колёс обратно пропорционально отношению диаметров начальных окружностей d_w21 d_wX или Z₂ /Zj при ведущей шестерне и = или ведущем колесе и = Нг-

Если при качении заданных центроид профили зубьев находятся в непрерывном касании от момента входа до момента выхода из зацепления, то такие профили называются сопряженными. В соответствии с основным законом зацепления общая нормаль к сопряженным профилям в точке их касания должна проходить через полюс.

Для доказательства этого положения рассмотрим два соприкасающихся зуба и начальные окружности d_wi и d_w2 (рис. 1.8, а). Обозначим угол между прямой, проходящей через полюс w и точку к касания профилей, и общей касательной к профилям в этой точке через у . Полагаем, что шестерня и колесо вращаются с угловыми скоростями w и w₂, причем coj со₂= d_w2 / d_wi. При сообщении веем звеньям угловой скорости w| с обратным знаком получается неподвижная шестерня и колесо, вращающееся вокруг мгновенного центра w с угловой скоростью w + w₂ (рис. 1.8, б).

Для обеспечения непрерывности зацепления вектор относительной скорости v_k2 точки к, принадлежащей профилю 2, должен совпадать с общей касательной к профилям в этой точке. В то же время вектор v_k2 перпендикулярен линии wk. Следовательно, должно выполняться условие взаимной перпендикулярности общей касательной линии wk, т. е. у = 90°. В этом случае линия wk представляется как общая нормаль к профилям в точке к.

Если у * 90°, то нетрудно представить, что при дальнейшем качении окружности d_w2 по окружности d_w[ между профилями 1 и 2 появится зазор (при у < 90°), либо произойдет внедрение профиля 2 в профиль 1 (при у > 90°).

Сформулированный основной закон относится к плоскому зацеплению, т. е. такому, в котором при любом плоском сечении, перпендикулярном осям зубчатых колёс цилиндрической передачи, происходит зацепление одинаковых плоских профилей зубьев.

Для пространственного зацепления, у которого плоские профили только мгновенно участвуют в зацеплении, а передача движения происходит между пространственными контактными линиями поверхностей зубьев, основной закон формулируется так: поверхности являются сопряженными, если вектор скорости любой точки их касания при движении одной поверхности относительно другой лежит в плоскости, касательной к обоим профилям.

Линия, представляющая собой геометрическое место точек к касания профилей зубьев (рис. 1.8), называется линией зацепления. Угол между нормалью к профилям в точке касания и перпендикуляром к линии, соединяющей центры колес (мсжоссвой линии), называется углом зацеплсния и обозначается а_Пх,. Если линия зацепления представляет собой кривую, то угол а_1хх, изменяется по мере перемещения контактной точки.

Рис. 1.8. Сопряженные профили зубьев

Участок РР₂ линии зацепления, отсеченный окружностями вершин зубьев, называется активной линией зацепления. Угол, на который поворачивается зубчатое колесо при перемещении точки касания из одного крайнего положения в другое (из точки Р в точку Р₂ или наоборот), называется углом торцового перекрытия этого колеса и обозначается <р_а1 для шестерни и <р_а2 для колеса (рис. 1.9). Углы т_х-2пИ_хи г₂ =2/г/Z, называются угловыми шагами зубьев шестерни и колеса. При (р_сЛ > г, (<р_а1 > г₂) в момент выхода из зацепления одной пары зубьев на активной линии зацепления находится в касании и другая пара зубьев (рис. 1.9, а).

Отношение угла торцового перекрытия к угловому шагу называется коэффициентом торцового перекрытия, s_a = (p_uX I т_] - (р_а11г₂.

В косозубых передачах обеспечивается также осевое перекрытие, оцениваемое коэффициентом осевого перекрытия, ?_р - <р_/п /г, = (р_рг 1 х_г.

Углы осевого перекрытия (р_/п и <р_р2 равны углам поворота зубчатых колёс при перемещении точки касания с одного из торцов колеса по линии зубьев на другой торец.

Рис. 1.9. Перекрытие зубьев в торцовом сечении

а б

Для прямозубых передач должно выполняться условие s_a > 1. При s_a < 1 перед входом в зацепление зубьев пары I касание профилей пары II будет происходить вне линии зацепления (профили зубьев на рис. 1.9, б показаны штриховой линией), что повлечёт за собой кромочное зацепление и неравномерное вращение ведомого колеса из-за смещения полюса в положение w'.

Для косозубых передач общий коэффициент перекрытия е_у = ?_а + ?_р > 1. Для реализации преимуществ косозубых передач перед

прямозубыми, необходимо ВЫПОЛНИТЬ условия ?_а > 1 И ?р > 1, хотя возможно иметь передачи с ?_а < 1 при ?_/j>wc?_/j< при ?_п> .

Эвольвенту описывает любая точка нерастяжимой нити, сматываемой в натянутом состоянии с окружности, называемой основной (эволютой) и обозначаемой dь. Эвольвенту описывает любая точка прямой СА, катящейся без скольжения по окружности d_h (рис. 1.10). Такую прямую называют образующей. Эвольвента, образуемая при сматывании нити с окружности dh в направлении часовой стрелки, условно называется правой, и левой, если сматывание направлено против часовой стрелки. Угол v между радиусами, проведенными через начало эвольвенты В и точку С касания образующей прямой с основной окружностью, называется углом развернутости эвольвенты для данной точки А. Угол в между радиусом ОВ и прямой, проведенной через центр О и точку А, называется углом эвольвенты в данной точке. Из рис. 1.10 следует

где inva - инвалюта угла а.

Рис. 1.10. Эвольвента окружности

Радиус данной точки эвольвенты

Если на образующей прямой находятся точки Л, А, Л₂,... на равном расстоянии друг от друга, то описываемые ими эвольвенты будут равноотстоящими (эквидистантными). Если точками А, А, А₂, ... описываются одноименные эвольвенты соседних зубьев, то расстояние между ними называется основным окружным шагом р_ы.

Образующая прямая является нормалью к любой эвольвенте в точке их пересечения. Радиус кривизны эвольвенты в данной точке связан с ее радиусом или углом развернутости,

На рис. 1.11 показаны зацепления двух эвольвентных зубьев. Общая нормаль к эвольвентам / и 2 шестерни и колеса в точке их касания к является касательной к основным окружностям dh и d_h2. Точка пересечения этой нормали с линией центров 0₂ (полюс зацепления) не меняет своего положения при относительном повороте зубчатых колес. Следовательно, центроидами при относительном движении будут окружности d_wi и d_w2, проведённые через полюс w. Линией зацепления является прямая, поэтому угол зацепления а_ы. - величина постоянная.

Рис. 1.11. Зацетение эвольвентных зубьев

Если центры вращения зубчатых колес О и 0₂ расположены по разные стороны от полюса w, то это внешнее зацепление (рис. 1.11, а); если же они расположены по одну сторону от w, то зацепление называется внутренним (рис. 1.11,6).

Расстояние 0₂ между осями вращения шестерни и колеса называется мсжоссвым расстоянием а_т которое равно:

Здесь и в последующих формулах верхний знак относится к передачам внешнего зацепления, а нижний - к передачам внутреннего зацепления. Окружности d_a 1, d_a2 и dp, dp., ограничивающие зубчатые венцы, называются, соответственно, окружностями вершин и впадин.

Среди способов образования эвольвентных профилей зубьев наибольшее распространение получил метод обкатки или огибания (рис. 1.12).

На рисунке показана прямая, называемая начальной, которая без скольжения перекатывается по окружности d. С начальной прямой неподвижно в плоскости чертежа связана прямая I, расположенная под углом ⁷у^-ос_г Огибающей (касательной) к различным положениям прямой I является правая эвольвента окружности d_h -dcosa_n так как одновременно с перекатыванием начальной прямой по окружности d, так же без проскальзывания, катится образующая прямая по окружности db. Точка к, принадлежащая образующей прямой, при указанном движении описывает эвольвенту, касательной к каждой точке которой является прямая I. Если с начальной прямой связаны прямые I и II, то при перекатывании ее без скольжения по окружности d образуются правая и левая эвольвенты, соответствующие правому и левому профилям зубьев.

Рис. 1.12. Образование эвольвентных профтей зуба методом обкатки

Представим, что на рис. 1.12 показана цилиндрическая заготовка диаметром d_a, а прямые I и II являются режущими кромками инструмента, совершающего возвратно-поступательное движение в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа. При перекатывании начальной прямой по окружности d режущие кромки на заготовке в этом случае сформируют боковые эвольвентные поверхности зубьев.

Образование зубьев можно продемонстрировать также на следующей модели (рис. 1.13), которая имеет жёсткую рейку с плоскими боковыми поверхностями зубьев. Плоскость, в сечении которой толщина зубьев равна ширине впадин, называется делительной. Плоскость рейки, параллельная делительной, называется начальной. На заготовке из пластичного материала выделим цилиндр диаметром d. Сообщим заготовке и рейке относительное движение, при котором цилиндр диаметром d катится без скольжения по начальной плоскости. В результате пластического деформирования на заготовке образуются зубья с эвольвентными профилями. Рейка, предназначенная для обработки зубьев на заготовке, называется производящей или инструментальной. Рассмотренная модель иллюстрирует образование зубьев методом обкатки. При нарезании зубьев червячными фрезами или долбяками режущие кромки инструмента, при перемещении относительно делительной плоскости, описывают поверхности зубьев производящей рейки. Цилиндр диаметром d, являющийся аксоидом в движении рейки относительно зубчатого колеса, называется делительным, соответственно окружность d - делительной.

Расстояние между одноименными точками соседних зубьев рейки, измеренное в плоскости, перпендикулярной оси зубчатого колеса, называется торцовым окружным шагом р, (рис. 1.13).

Шаг зубьев рейки в плоскости, перпендикулярной к линиям зубьев рейки, называется нормальным окружным шагом р„. Согласно рис. 1.13 Pt ~ Р_п I^cos Р » ^гД^е Р ~ У^гол наклона линии зуба.

Рис. 1.13. Получение зубьев на заготовке методом обкатки с помощью производящей рейки

Отношения p_t! л = m_t и р_п / л = т называются, соответственно, торцовым модулем и модулем зацепления, соотношение которого выражается

Для прямозубых колес /3 = 0 и /и, = т.

Сечение рейки плоскостью, перпендикулярной линии зубьев, называется нормальным сечением рейки. Контур зубьев рейки, соответствующий её нормальному сечению, называется исходным контуром (рис. 1.14). Основными параметрами исходного контура являются угол главного профиля а (рис. 1.14, а), коэффициент высоты головки /?„*, коэффициент радиального зазора в паре исходных контуров с , коэффициент высоты

ф ф ф ф ф ф

ножки hf = h_a + с , коэффициент граничной высоты h = 2h_a (при h_a = 1 допускается h = 2,1), коэффициент глубины захода зубьев в паре исходных контуров h_w = 2h_a , коэффициент радиуса кривизны переходной кривой /7* .

Рис. 1.14. Исходный контур цилиндрических зубчатых передач: а - без модификации; б-с модификацией

Высота головки /?„ и ножки hf, радиальный зазор с, граничная высота зуба И, глубина захода h_w и радиус переходной кривой р₍ определяются

перемножением на модуль соответствующих коэффициентов.

Средняя линия исходного контура, которая делит глубину захода пополам, называется делительной прямой. Толщина зубьев и ширина впадин по делительной прямой равны.

Для уменьшения динамических нагрузок и предотвращения кромочного контакта зубьев, вызванных погрешностями изготовления при высоких окружных скоростях зубчатых передач внешнего зацепления, рекомендуется применять исходный контур с модификацией профиля головки зуба (рис. 1.14, б).

Параметрами модификации являются коэффициент высоты h_gи глубины А' модификации. При 0,1 <т< 1 модификацию можно выполнить в виде среза или закругления, причём профиль зуба головки изделия отклоняется от эвольвенты в тело (заштрихованные части исходного контура на рис. 1.14 соответствуют впадинам зубьев производящей рейки).

Модификация приводит к уменьшению коэффициента торцового перекрытия. Модифицированный исходный контур нс используется для передач, у которых е_а< 1,1.

Впадина зубьев ниже граничной высоты h может быть выполнена либо одной дугой, либо двумя дугами и сопряженной кривой, либо в форме другой переходной кривой. Так как исходный контур совпадает с нормальным сечением производящей рейки, то профильный угол ее в этом сечении а_п = а . Профильный угол производящий рейки в торцовом сечении (см. рис. 1.13) равен:

Эвольвентные профили впадин зубчатого колеса с внутренними зубьями совпадают с эвольвснтными профилями зубчатого колеса с внешними зубьями, если у этих колес т, Z, /? равны, а начальная и делительная плоскости производящей рейки совпадают. Можно представить зацепление мнимой производящей рейки и колеса с внутренними зубьями (рис. 1.15). Введение для колес с внутренними зубьями понятия о производящей рейке упрощает расчеты и способствует общности геометрических зависимостей для передач с внешним и внутренним зацеплением. Начальная и делительная плоскости (или прямые) производящей рейки могут совпадать или не совпадать. Если эти плоскости совпадают (рис. 1.16, б), то расстояние от оси зубчатого колеса до делительной плоскости прямой рейки составляет:

Зубчатое колесо, образуемое в этом случае, называется колесом без смещения исходного контура. Если при нарезании зубьев начальная и делительная прямые рейки нс совпадают (рис. 1.16, а, в), то образуемое при этом зубчатое колесо называется колесом со смещением исходного контура.

Расстояние между начальной и делительной прямой называется смещением исходного контура, а его отношение к модулю зацепления называется коэффициентом смещения. Коэффициент смещения обозначается х и равен:

Рис. 1.15. Внутреннее зацепление

Если Е > 0,5d, то х > 0, и смещение называется положительным. При Е < 0,5d получается х < 0, что соответствует отрицательному смещению.

Делительные окружности колёс в зацеплении с рейками всегда являются начальными. Соотношение делительного и основного диаметров выражается (рис. 1.16):

С ростом х толщина внешних зубьев на окружности вершин S_a, уменьшается, и увеличивается у основания, а боковые поверхности очерчиваются участками эвольвент, более удаленными от основной окружности, т. с. увеличиваются радиусы кривизны профилей. Одновременно с этим уменьшаются радиусы кривизны переходной кривой у основания зубьев. Таким образом, изменение величины х при неизменном угле профиля рейки существенно влияет на геометрию зубьев зубчатых колес.

Смещение инструмента также оказывает влияние и на размеры зубчатых колес. В соответствии с рис. 1.16 диаметры вершин и впадин зубьев при х * 0 равны:

Рис. 1.16. Зацепление зубчатого колеса с производящей рейкой:

Д. П. - делительная пряная; Н. П. - начальная прямая

Толщина внешних зубьев S, по делительной окружности растет с увеличением смещения производящей рейки. Из рис. 1.17, на котором показано зацепление зубчатого колеса с рейкой при х = О (выделение штриховыми линиями) и х > 0 (выделение сплошными линиями), следует, что S, в общем случае ппедставляется как

половина угловой толщины зуба по делительной окружности равна:

Рис. 1.17. К определению толщины зуба по делительной окружности при х Ф О

Толщина зубьев по основной окружности, называемая основной окружной толщиной зубьев, определяется по формуле (рис. 1.18):

Принимая во внимание, что в = inva_{, и учитывая предыдущие зависимости для т, и б/_ь, находим

Толщина зуба по окружности произвольного диаметра d_y в торцовом сечении:

где в_у = inva_ly; а_[у - arccos^ Id).

С учетом выражения для в и в_г, получим

Толщину зубьев на окружности вершин найдём, полагая, что d_y=d_a: где a_al =arccos(d_h/d_a).

Минимальные значения S_al рекомендуется принимать равными (0,25.. .0,3)/» при однородной структуре материала зубчатых колес и 0,4 т для зубьев, подвергаемых поверхностному упрочнению.

Рис. 1.18. Толщина зубьев: а-внешних; б-внутренних

Используя зависимость для определения S_al, можно определить диаметр d_0стр, на котором пересекаются правая и левая эвольвенты зуба. Для этого с помощью таблиц эвольвентных функций определяется угол «_остр из равенства

и диаметр

Приведенные выше параметры эвольвентных мелкомодульных зубчатых передач наиболее часто встречаются в расчётных зависимостях характеристик волновых зубчатых передач. При практической разработке конструкций передач необходимо учитывать и рассчитывать ряд других параметров и влияние на них способа нарезания (червячной фрезой или долбяком) и др., например подрезание или недорезание зубьев, интерференцию профилей. Для контроля качества изготовления зубчатых венцов необходим расчёт номинальных размеров взаимного положения профилей зубьев. Контроль осуществляется путём измерения постоянной хорды или хорды по дуге некоторой окружности, длины общей нормали или размера по роликам. При возникновении потребности в дополнительных расчётах необходимо обращаться к специальным источникам информации.