Вопросы к экзамену по Линейной алгебре (2020/21 уч. год)

Вопросы к экзамену по Линейной алгебре (2020/21 уч. год)

для групп Б20-201, 202, 203, 204, 205, 211, 215, 301, 302, 312, С20-201

Лектор Иванова ТМ.

1. Прямоугольные матрицы. Линейные операции над ними. Свойства линейных операций над матрицами.

2. Умножение прямоугольных матриц. Свойства операции умножения.

3. Транспонированные и сопряженные матрицы. Свойства операций транспонирования и сопряжения. Симметрические и кососимметрические и эрмитово симметрические матрицы.

4. Перестановки. Теорема о транспозиции.

5. Общее определение определителя. Вычисление определителя 2-го и 3-го порядков. Вычисление определителя верхней и нижней треугольных матриц.

6. Лемма о знаке определителя. Свойства определителя.

7. Определитель произведения двух матриц (без док-ва.)

8. Миноры и алгебраические дополнения. Лемма об определителе матрицы специального вида.

9. Теоремы о разложении определителя по строке и по столбцу. Теоремы о сумме произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки. Аналогичное утверждение для столбцов.

10. Обратная матрица и ее свойства.

11. Критерий обратимости матрицы. Рецепт вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

12. Линейная зависимость и линейная независимость системы строк\столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости и линейной независимости.

2. Определение ранга матрицы. Базисные строки и столбцы матрицы. Теорема о базисном миноре.

3. Следствия теоремы о базисном миноре (критерий вырожденности квадратной матрицы и ЛЗ большого числа строк\столбцов). Теорема о ранге матрицы.

4. Элементарные преобразования строк\столбцов матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

5. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований: Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной, Лемма о реализации элементарных преобразований посредством умножения на матрицу. Теорема о приведении единичной матрицы к обратной. Следствия: способы вычисления А^-1, А^-1В, А^-1х.

6. Основные понятия теории систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Квадратные СЛАУ. Теорема Крамера. Следствие о несовместности.

7. Элементарные преобразования строк СЛАУ. (Самостоятельно: эквивалентность элементарных преобразований строк СЛАУ). Метод Гаусса исследования\решения СЛАУ.

8. Теорема Кронекера—Капелли.

9. Однородные СЛАУ. Свойства решений ОСЛАУ. Критерий существования нетривиального решения ОСЛАУ.

10. Линейная зависимость и линейная независимость решений ОСЛАУ. Определение фундаментальной системы решений (ФСР). Связь общего решения ОСЛАУ с ФСР. Построение нормальной системы решений (НСР) ОСЛАУ и выражение произвольного решения ОСЛАУ через НСР.

11. Теорема о ФСР: существование; количество элементов; системы решений, образующие ФСР.

12. Неоднородные СЛАУ. Теорема об общем решении НСЛАУ.

13. Линейные пространства (ЛП). Простейшие свойства (нулевого и противоположного элементов). Примеры линейных пространств.

14. ЛЗ и ЛНЗ системы элементов ЛП. Критерий ЛЗ. Достаточные условия ЛЗ и ЛНЗ. Примеры.

15. Базис и размерность ЛП. Теорема о связи базиса и размерности. Примеры базисов в различных ЛП. ФСР как базис ЛП всевозможных решений ОСЛАУ.

16. Линейные подпространства (ЛПП) и линейные оболочки (ЛО). Док-во того, что ЛПП и ЛО являются линейными пространствами. Теорема о размерности ЛО. Теорема о неполном базисе.

17. Координаты вектора в базисе, их единственность. Координаты суммы векторов и произведения вектора на скаляр. Лемма о сокращении на базис.

18. Изоморфизм линейных пространств. Свойства изоморфизма. Критерий изоморфности двух ЛП. Утверждение о размерности линейной оболочки (через ранг)

19. Сумма и пересечение линейных пространств. Док-во того, что они являются ЛПП. Теорема о размерности суммы (качественно через изоморфизм). Прямая сумма. Критерий прямой суммы (без док-ва). Примеры.

20. Матрица перехода от одного базиса к другому. Ее свойства. Теорема о преобразовании координат вектора при смене базиса.

21. Линейные формы\функционалы в ЛП. Свойства ЛФ. Сопряженное пространство и его размерность. Биортогональный базис.

22. Теорема об общем виде ЛФ в ЛП. Коэффициенты ЛФ. Их преобразование при смене базиса.

24. Линейные операторы (ЛО) в ЛП. Линейные операции с ЛО и их свойства. Линейное пространство L(V,W). Композиция линейных операторов в L(V,V) и ее свойства.

25. Теорема о задании ЛО. Матрица ЛО в данном базисе. Преобразование координат вектора под действием ЛО.

26. Изоморфизм L(V,V) и линейного пространства квадратных матриц n-го порядка (dim V=n). Размерность L(V,V). Матрица композиции линейных операторов.

27. Обратный оператор. Единственность и линейность обратного оператора. Матрица обратного оператора. Биективный оператор. Критерий обратимости ЛО.

28. Преобразование матрицы ЛО при смене базиса. Характеристический многочлен, определитель и след линейного оператора. Инвариантность характеристического многочлена, его корней, следа ЛО.

29. Образ и ядро линейного оператора. Их свойства и размерность. Ранг ЛО. Дополнительные критерии обратимости, связанные с образом и ядром.

30. Собственные векторы (СВ) и собственные значения (СЗ) линейного оператора. Спектр ЛО. Критерий принадлежности числа спектру ЛО. Правило нахождения СЗ и СВ.

31. Свойства СВ: линейная комбинация СВ, отвечающих одному СЗ; линейная независимость СВ, отвечающих различным СЗ. Алгебраическая и геометрическая кратности СЗ. Соотношение между ними (без док-ва). Необходимое и достаточное условие диагонализуемости ЛО.

32. Билинейные формы (БФ) в вещественном ЛП. Симметрические и кососимметрические БФ. Общий вид БФ. Матрица БФ. Преобразование матрицы БФ при смене базиса.

33. Квадратичные формы (КФ) в вещественном ЛП. Теорема о полярной БФ. Общий вид КФ. Матрица КФ. Преобразование матрицы КФ при смене базиса.

34. Канонический вид КФ. Канонический базис КФ. Приведение КФ к каноническому виду невырожденным преобразованием (теорема Лагранжа). Следствие о каноническом базисе и симметрической матрице.

35. Нормальный базис КФ, его существование. Закон инерции КФ ( инвариантность положительного и отрицательного индексов инерции).

36. Классификация КФ. Критерии знакоопределенности, квазизнако-определенности и знакопеременности КФ (через индексы инерции). Критерий Сильвестра (док-во только в каконическом базисе — самостоятельно)

37. Полуторалинейные формы (ПФ) в комплексном ЛП. Общий вид ПФ. Матрица ПФ. Преобразование матрицы ПФ при смене базиса.

38. Евклидовы и унитарные пространства. Скалярное произведение. Примеры. Понятие нормы вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

39. Общий вид скалярного произведения в унитарном (в евклидовом) пространстве. Матрица Грама. Её св-ва (в рамках того, что было не лекции)

40. ОНБ в унитарном (в евклидовом) пространстве. Теорема о линейной независимости ОНС, не содержащей нейтральный(нулевой) элемент. Критерий ОНБ в унитарном (в евклидовом) пространстве.

41. Построение ОНБ из произвольного базиса в унитарном (в евклидовом) пространстве. Ортогонализация по Шмидту.

42. Ортогональные дополнения подпространства унитарного (евклидова) пространства.

43. Теорема об ортогональном дополнении. Разложение унитарного (евклидова)

пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

44. Линейные, полуторалинейные и билинейные формы в унитарном (в евклидовом) пространстве. Теоремы о представлении ЛФ, ПФ, БФ в унитарном (в евклидовом) пространстве.

45. Линейные операторы в унитарном (в евклидовом) пространстве. Сопряженный оператор. Его существование, единственность, линейность, свойства, матрица в ОНБ.

46. Нормальные операторы в унитарном (в евклидовом) пространстве. Нормальные матрицы. Свойства нормального оператора.

47. Самосопряженные операторы в унитарном (в евклидовом) пространстве. Эрмитовы матрицы. Свойства самосопряженного оператора.

48. Унитарные (ортогональные) операторы в унитарном (в евклидовом) пространстве. Унитарные(ортогональные) матрицы. Свойства унитарных (ортогональных) операторов. Свойства унитарных (ортогональных) матриц.

49. Спектральные теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве и нормальных матриц; для самосопряженных операторов в унитарном (в евклидовом) пространстве и эрмитовых (симметричных) матриц; для унитарных операторов в унитарном пространстве и унитарных (ортогональных) матриц.

50. Приведение эрмитовой квадратичной формы в унитарном пространстве к каноническому виду унитарным преобразованием. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду ортогональным преобразованием.