Решение заданий ЕГЭ (профильный уровень)

Решение заданий ЕГЭ (профильный уровень)

Вариант №24563379

Задание 1. На корабле плывёт 500 пассажиров и 15 членов команды. Сколько шлюпок потребуется, чтобы перевезти всех людей с корабля на берег, если в одну шлюпку помещается 80 человек.

Решение:

1) Находим общее количество людей на корабле .

2) Теперь находим сколько шлюпок понадобится .

Ответ: 7

Задание 2.На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по апрель 1994 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение:

Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура с 1 по 4 месяц составляла .

Ответ:

Задание 3. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

Проводим высоту, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию .

Ответ: 6

Задание 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме "Неравенства". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Неравенства".

Решение:

1) Найдем сколько билетов без темы "Неравенства" Þ .

2) Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Неравенства", находится по формуле ,

тогда .

Ответ: 0,6

Задание 5.Решите уравнение

Решение:

Приведем уравнение к одному основание степени Þ Þ .

Ответ: 2

Задание 6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, BC=8, CD=16. Найдите длину стороны AD.

Решение:

1) По свойству: Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны, а значит .

2) Находим сторону AD следующим образом, Þ

Ответ: 18

Задание 7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение:

1) Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (−6; 2), C (2; 2). Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.

2) Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ABC. Поэтому .

Ответ: 0,25

Задание 8. Во сколько раз изменится объём конуса, если его высота уменьшится в 12 раз, а радиус основания не изменился.

Решение:

1) Рассмотри формулу нахождения объема конуса , где S – площадь основания, а h – высота конуса.

2) Исходя из формулы, мы видим, что если высота уменьшится в 12 раз, то и сам объем тоже уменьшится в 12 раз.

Ответ: 12

Задание 9. Найдите значение выражения

Решение:

1) Воспользуемся свойством логарифма: Переход к новому основанию Þ .

2) Теперь вычислим логарифм по определению: Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x, тогда .

Ответ: 2

Задание 10. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выражением: (Гц), где c – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=10 м/с и v=15 м/с – скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

Решение:

1) Запишем выражения частоты в виде неравенства .

2) Подставляем все известные нам значения Þ Þ м/c.

Ответ: 390

Задание 11. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. B результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1) Введем обозначения, Пусть v км/ч – скорость велосипедиста на пути из B в A, тогда скорость велосипедиста на пути из A в B равна км/ч.

2) Сделав на обратном пути остановку на 4 часа, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

Þ Þ

3) Решаем пропорцию:

Þ Þ

4) Решаем квадратное уравнение: Þ Þ Þ Скорость не может выражаться отрицательным значением, а тогда скорость велосипедиста составляет 11км/ч.

Ответ: 11

Задание 12. Найдите точку максимума функции .

Решение:

1) Найдем производную заданной функции:

Þ .

2) Найдем нули производной: Þ Þ .

3) Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 100

Задание 13. (а) Решите уравнение .

(б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение:

1) а. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: , а также формулой приведения:

2) Пусть , тогда:

3) Ввернемся к исходной переменной:

Þ Þ

1) б. С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .

2) Получаем числа: .

Ответ: а) ; б) .

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении , считая от вершины A, точка K — делит сторону BC в отношении , считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость w.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью w является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости w, если известно, что SC=5, AC=6.

Решение:

1) а. Построим сечение пирамиды плоскостью w. Заметим, что BP=BK, поэтому треугольники PBK и ABC подобны, а тогда PK || AC. Поскольку плоскость w проходит через прямую PK, параллельную плоскости ASC, w пересекает ASC по прямой, параллельной PK. Пусть эта прямая пересекает SA и SC в точках M и L соответственно. Тогда прямые PK, AC и LM параллельны.

2) По условию, w||SB, поэтому прямые MP и LK параллельны SB, а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике LMKP противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение — параллелограмм.

3) Скрещивающиеся рёбра правильной пирамиды взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярны соответственно параллельные им прямые LM и LK. Тем самым, стороны сечения перпендикулярны, следовательно, сечение — прямоугольник. Это и требовалось доказать.

1) б. Пусть H — середина AC. Проведём SH и BH и пусть плоскость SHB пересекает w по прямой QR. Тогда QR || SB, а расстояние от точки S до плоскости w равно d(SB, QR) — расстоянию между параллельными прямыми SB и QR. Найдем его.

2) В треугольнике SHB длина SB=5, BH= , SH= . Проведём высоту треугольника HT и найдем её. Пусть BT = x, тогда ST = , тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников BHT и SHT получаем:

3) Подставляем наши значения: Þ Þ

4) Тогда мы можем найти HT:

5) По условию , поэтому , а тогда поскольку сечение делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T, тогда:

Ответ: б)

Задание 15. Решите неравенство .

Решение:

1) Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<p(x)<1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, тогда преобразуем неравенство:

Þ Þ Решаем полученную систему неравенств

2) Рассмотрим первое неравенство системы:

Þ Þ .

3) Первый множитель больше нуля, следовательно, знак выражения определяется вторым множителем и решение неравенства: Учитывая второе неравенство, получаем решение исходного неравенства: .

Ответ:

Задача 16. Около ABC описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP=AP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если ABC= , а радиус описанной окружности равен 18.

Решение:

1) а. Обозначим углы треугольника ABC: , , .

2) Заметим, что , (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). По аналогии .

3) Находим , но мы знаем, что , тогда треугольник AOP – равнобедренный Þ AP=OP.

1) б. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 Þ , (как хорды, стягивающие равные дуги). Þ треугольник APC – равносторонний.

2) Искомое расстояние d равно его высоте: d=

3) По теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Þ Þ Þ Þ Þ (расстояние от точки P до прямой АС).

Ответ: 27

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите x, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

Решение:

1) Долг перед банком по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, ежегодно уменьшаясь на одну пятнадцатую. Поэтому первый платеж составит одну пятнадцатую от 6 миллионов (возврат первой части тела долга) и процент за их использование. Последний платеж также составит одну пятнадцатую от 6 миллионов (возврат последней части тела долга) и процент за использование этой суммы в течение последнего года:

Первая выплата (в млн.):

Вторая выплата (в млн.):

Третья выплата (в млн.):

Пятнадцатая выплата (в млн.):

Все выплаты (в млн.):

2) Поскольку наибольший годовой платеж ( ) по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший ( ) – не менее 0,5 млн. рублей, получаем два линейных неравенства:

а) Þ Þ .

б) Þ Þ .

Из полученного х=25.

Ответ: 25

Задание 18. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения.

Решение:

Уравнение равносильно системе

Второе уравнение преобразуем выделением полного квадрата, тогда получим:

(уравнение окружности с координатами (х ; а). Þ

1.1 – парабола Þ (0;0) – вершина.

1.2 – окружность Þ (1;2) – центр, .

2) Найдем точки пересечения окружности и параболы:

Þ х=0, а=0

3) 2 решения: .

Ответ: .

Задание 19. Последовательность натуральных чисел состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а) Может ли последовательность содержать ровно 5 различных чисел?

б) Чему может равняться , если =75?

в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности ?

Решение:

A) Пусть a — первое число. Постараемся найти цепочку вида:

Для зацикливания требуется, чтобы . Это уравнение имеет натуральное решение: . Действительно, имеем цепочку, состоящую из пяти чисел:

Б) По условию или , или . Но — нечетное число, поэтому есть ровно одна возможность: — снова нечетное число, поэтому для снова ровно одна возможность. Так всякий раз будут получаться нечетные числа, поскольку сумма нечетного и четного чисел является нечетным числом. Рассуждая аналогично, получаем:

В) 1. Заметим, что цепочка

удовлетворяет условиям.

2. Докажем, что наибольший член последовательности не может быть меньше 112. Пусть a — наибольший член последовательности (начиная с момента, когда впервые произошло умножение на 2; заметим, что в нашем случае 98 не может вычитаться дважды подряд). Тогда предыдущее число - это . Следовательно, a — четное.

3. Значение 98 и меньше а быть не может, так как это бы означало, что в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

4. Переберем эти значения. Рассмотрим момент, когда a появился впервые (очевидно, номер этого члена последовательности заведомо не превзойдет, например, 10).

* В случае значений a, равных 100, 102, 106, после вычитания 98 (на следующем шаге), мы попадем в элемент цепочки:

и найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 128).

* Значения a, равные 104 и 110, приведут нас в элемент цепочки

* Значение a=108 приведет нас к цепочке

и вновь найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен, по крайней мере, 160).

Ответ: а) да, б) 9777, в)112