Математический анализ. Вопрос №9

Математический анализ. Вопрос №9

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Рассмотреть определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Доказать, что если подынтегральная функция непрерывна, то производная по верхнему пределу равна подынтегральной функции. Вывести формулу Ньютона-Лейбница. Показать на примере применение этой формулы.

Ответ.

Рассмотрим функцию y=f(x), интегрируемую на отрезке [a, b]. Если x на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема на любом отрезке [a, x]. Предположим, что x меняется на отрезке [a, b], то на этом отрезке определена функция

Формула 1.

(Переменную интегрирования обозначим буквой t, переменный верхний предел – буквой x).

Теорема. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т.е. (Написал без доказательства, там темный лес.)

Формула 2

Формула Ньютона-Лейбница. Известно, что любые две первообразные функции f отличатся друг от друга только на константу (число). Интеграл является одной из первообразных функции f; тогда произвольную первообразную этой функции можно найти по формуле:

Формула 3

Вычислим значения первообразной F(x) в точках x = a и x = b:

Формула 4

Мы воспользовались тем, что, согласно свойствам определенного интеграла, . Из формулы 4 следует формула Ньютона – Лейбница:

Формула 5

Формула Ньютона-Лейбница говорит о том, что для вычисления определенного интеграла функции f нужно составить разность значений любой из ее первообразных на вернем и нижнем пределах интеграла. Формулу 5 часто записывают в более короткой форме:

Формула 6

Пример (на применение формулы Н – Л).