Метод потенциалов

6. Метод потенциалов

Процедура нахождения оптимального плана транспортной задачи имеет два этапа. На первом этапе находят опорной план транспортной задачи. Далее последовательно улучшают найденный опорный план до получения оптимального плана.

При применении этих методов получаем m+n−1 занятых клеток в исходном плане. Отметим, что в некоторых клетках могут стоять нули. Полученный план следует проверить на оптимальность.

Теорема. Если для некоторого опорного плана (i=1,..,m; j=1,...,n) транспортной задачи существуют такие числа α₁, α₁, ..., α_m, β₁, β₂, ..., β_n, что

для всех i=1,..,m; j=1,...,n, то − оптимальный план транспортной задачи.

Определение 6.1. Числа α_i и β_j (i=1,..,m; j=1,...,n) называются потенциалами пунктов отправления и пунктов назначения, соответственно.

Вышеизложенная теорема позволяет построить алгоритм нахождения оптимального плана транспортной задачи.

Алгоритм состоит в следующем. Предположим, что одним из рассмотренных выше методов найден опорный план транспортной задачи. Для каждого из пунктов отправления и назначения определяют потенциалы α_i и β_j (i=1,..,m; j=1,...,n) из системы уравнений

(6.1)

где с_ij − тарифы транспортной задачи в заполненных клетках.

Так как число заполненных клеток равно m+n−1, то система (6.1) с m+n неизвестными содержит m+n−1 уравнений. Для решения данной задачи одно из неизвестных можно сделать равным нулю и найти остальные неизвестные. После этого, для свободных клеток определяем числа

Если среди чисел α_ij нет положительных, то найденный опорный план является оптимальным. Если же для некоторой свободной клетки α_ij>0, то данный опорный план не является оптимальным и необходимо перейти к новому опорному плану. Для этого рассматривают все свободные клетки, для которых α_ij>0 и среди данных чисел выбирают максимальное. Клетку с данным числом следует заполнить.

Надо учитывать, что при заполнении данной клетки необходимо изменить объем поставок в нескольких других клетках.

Определение 6.2. Циклом в таблице условий транспортной задачи называется ломанная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звеня расположены вдоль строк и столбцов. В каждой вершине цикла встречается два звена, одно из которых находится в строке, а другой в столбце.

Если ломаннная линия, образующая цикл, самопересекается, то место пересечения не является вершиной. Некоторые циклы представлены на рисунке Рис.6.1.

При правильном строении опорного плана для любой свободной клетки можно построить только один цикл. После построения цикла следует перейти к новому опорному плану. Для этого в каждой из клеток, находящихся на вершине цикла записывают определенный знак "+" или "−" . В свободной клетке записывают знак "+" и поочередно проходя по циклу записывают знаки "−" и "+". Назовем клетки с записанными в них знаками плюсовыми и минусовыми.

Далее в свободную клетку переносят меньшее из чисел x_ij, находящихся в минусовых клетках. Это число прибавляют к числам, стоящим в плюсовых клетках а вычисляют из чисел, стоящих в минусовых клетках. Клетка, которая была свободной, становится занятой, а минусовая клетка с минимальным из чисел x_ij, находящихся в минусовых клетках считается свободным.

В результате вышеуказанных перемещений груза по циклу, получим новый опорный план транспортной задачи. Описанный переход от одного опорного плана транспортной задачи к другому опорному плану называется сдвигом по циклу пересчета.

При сдвиге по циклу пересчета число занятых клеток не изменяется и равно m+n−1. Если в минусовых клетках имеется два и более одинаковых минимальных числа x_ij, то освобождают только одину, о остальные оставляют занятыми с нулевыми значениями.

Далее полученный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого определяют потенциалы пунктов отправления и назначения и находят числа α_ij=β_j−α_i−c_ij для всех свободных клеток. Если среди них не окажется положительный, то получен оптимальный план. Если же среди них есть положительный, то нужно перейти к новому опорному плану. После конечнего числа шагов получяют оптимальный план.

Таким образом алгоритм нахождения оптимального плана содержит следующие этапы:

1. Нахождение опорного плана. При этом число заполненных клеток должно быть равным m+n−1.

2. Нахождение потенциалов α_i и β_j (i=1,..,m; j=1,...,n) пунктов отправления и назначения соответственно.

3. Определение числа α_ij для каждой свободной клетки. Если среди α_ij нет положительных, то получен оптимальный план транспортной задачи. Если же они имеются, то делается переход к новому опорному плану.

4. Выбор максимального среди положительных чисел α_ij . Определение свободной клетки, которую нужно заполнить. Построение цикла пересчета для выбранной свободной клетки. Сдвиг по циклу пересчета.

5. Проверка полученного опорного плана на оптимальность, т.е. переход к пункту 2.

Отметим, что в некотором шаге опорный план может стать вырожденным. Чтобы избежать зацикливания следует преобразовать вырожденный план в невыроженный путем замены соответствующий нулевых элементов опорного плана на сколь угодно малыми положительными числами δ и решить задачу. После решения, в оптимальном плане нужно заменить δ нулем.

Рассмотрим метод потенциалов на примере.

Пример 6.1. Решить транспортную задачу, заданную в таблице условий методом потенциалов:

Решение. Найдем сначала опорный план с помощью одного из методов описанного выше. Пусть это будет метод минимального элемента. Тогда после m+n−1 шагов получим следующую таблицу с опорным планом:

Опорный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Проверяем полученный опорный план на оптимальность. Для этого находим потенциалы пунктов отправления и назначения. Для заполненных клеток составляем систему из 6 уравнений с 7 неизвестными:

Полагая α₁=0, находим β₂=2, β₃=1, α₂=-1, α₃=-3, β₄=0, β₂=5

Для каждой свободной клетки вычисляем число α_ij=β_j−α_i−c_ij. α₁₂=2, α₁₄=-2, α₂₂=2, α₂₃=-3, α₃₃=-1, α₃₄=-3.

Полученные числа заключаем в рамки и записываем их в соотвестствующие клетки таблицы:

Среди чисел α_ij есть положительные. Следовательно данный опорный план не является оптимальным. Наибольшее положительное число 2 находится в пересечении строки A₁ и столбца B₂. Для данной свободной клетки строим цикл пересчета. Для этого вставим в эту клетку знак "+" а остальные клетки цикла поочередно знаки "−" и "+".

Наименьшее из чисел в минусовых клетках равно 80. Клетка, в которой находится это число становится свободной. В новой таблице другие числа получаются так. Числам, находящимся в плюсовых клетках добавляется 80, а из чисел, находящихся в минусовых клентках вычитается это число.

Опорный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Полагая α₁=0, находим β₂=3, β₃=1, α₃=-3, β₁=0, α₂=-3, β₄=-2

Для каждой свободной клетки вычисляем число α_ij=β_j−α_i−c_ij. α₁₁=-2, α₁₄=-4, α₂₂=2, α₂₃=-1, α₃₃=1, α₃₄=-3.

Полученные числа заключаем в рамки и записываем их в соотвестствующие клетки таблицы:

Среди чисел α_ij есть положительные. Следовательно данный опорный план не является оптимальным. Наибольшее положительное число 2 находится в пересечении строки A₂ и столбца B₂. Для данной свободной клетки строим цикл пересчета. Для этого вставим в эту клетку знак "+" а остальные клетки цикла поочередно знаки "−" и "+".

Наименьшее из чисел в минусовых клетках равно 20. Клетка, в которой находится это число становится свободной. В новой таблице другие числа получаются так. Числам, находящимся в плюсовых клетках добавляется 20, а из чисел, находящихся в минусовых клентках вычитается это число.

Опорный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Полагая α₁=0, находим β₂=3, β₃=1, α₂=-1, β₁=2, β₄=0, α₃=-1

Для каждой свободной клетки вычисляем число α_ij=β_j−α_i−c_ij. α₁₁=0, α₁₄=-2, α₂₃=-3, α₃₂=-2, α₃₃=-1, α₃₄=-3.

Среди чисел α_ij нет положительных. Следовательно данный опорный план является оптимальным.

Ответ. Оптимальный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так: