Игры с природой. Пример решения

Игры с природой

Пример решения

Задание. Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса Пj, j=1͞,4͞ (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A₁, А₂, А₃. Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.

А_j	П_j
А_j	П₁	П₂	П₃	П₄
А₁	30 +N			25 + N/2
А₂		70 - N	10 + N/2
А₃	25 – N/2			60 - N

Где N=3
Известны возможные состояния покупательского спроса, которые соответственно q₁=0,3, q₂=0,2, q₃=0,4, q₄=0,1. Необходимо найти стратегию сбыта, максимизирующую средний товарооборот фирмы. При этом использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Байеса.

Решение.
Критерий Байеса.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при котором максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(aijpj)
∑(a1,jpj) = 33•0.3 + 10•0.2 + 20•0.4 + 26.5•0.1 = 22.55
∑(a_2,jp_j) = 50•0.3 + 67•0.2 + 11.5•0.4 + 25•0.1 = 35.5
∑(a_3,jp_j) = 23.5•0.3 + 35•0.2 + 40•0.4 + 58.5•0.1 = 35.9

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	∑(a_ijp_j)
A₁	9.9			2.65	22.55
A₂		13.4	4.6	2.5	35.5
A₃	7.05			5.85	35.9
p_j	0.3	0.2	0.4	0.1

Вывод: выбираем стратегию N=3.

Критерий Лапласа.
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q₁ = q₂ = ... = q_n = 1/n.
q_i = 1/4

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	∑(a_ij)
A₁	8.25	2.5		6.63	22.38
A₂	12.5	16.75	2.88	6.25	38.38
A₃	5.88	8.75		14.63	39.25
p_j	0.25	0.25	0.25	0.25

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a_ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	min(a_ij)
A₁				26.5
A₂			11.5		11.5
A₃	23.5			58.5	23.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r_ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r₁₁ = 50 - 33 = 17; r₂₁ = 50 - 50 = 0; r₃₁ = 50 - 23.5 = 26.5;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r₁₂ = 67 - 10 = 57; r₂₂ = 67 - 67 = 0; r₃₂ = 67 - 35 = 32;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r₁₃ = 40 - 20 = 20; r₂₃ = 40 - 11.5 = 28.5; r₃₃ = 40 - 40 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r₁₄ = 58.5 - 26.5 = 32; r₂₄ = 58.5 - 25 = 33.5; r₃₄ = 58.5 - 58.5 = 0;

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄
A₁
A₂			28.5	33.5
A₃	26.5

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	max(a_ij)
A₁
A₂			28.5	33.5	33.5
A₃	26.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s_i)
где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s_i.
s₁ = 0.5•10+(1-0.5)•33 = 21.5
s₂ = 0.5•11.5+(1-0.5)•67 = 39.25
s₃ = 0.5•23.5+(1-0.5)•58.5 = 41

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	min(a_ij)	max(a_ij)	y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)
A₁				26.5			21.5
A₂			11.5		11.5		39.25
A₃	23.5			58.5	23.5	58.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₃.