Примерный перечень экзаменационных вопросов по математике

Примерный перечень экзаменационных вопросов по математике

для курсантов специализации 25.05.05.01 «Организация летной работы»

4 семестр, 2020 – 2021 учебный год

1. Первичные понятия теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий.

2. Классическое определение вероятности. Перестановки, размещения, сочетания и основные формулы комбинаторики. Правила суммы и произведения.

3. Статистическое и геометрическое определения вероятности. Свойства вероятности.

4. Сумма и произведение событий. Свойства операций над событиями.

5. Вероятность суммы двух событий. Обобщение формулы на случай трех и более событий. Вероятность суммы несовместных событий. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий, противоположных событий.

6. Условная вероятность. Вероятность произведения двух событий. Обобщение формулы на случай n событий.

7. Независимые события (попарно и в совокупности). Вероятность произведения независимых событий. Вероятность суммы независимых в совокупности событий.

8. Формула полной вероятности и формула Байеса.

9. Случайная величина. Примеры случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

10. Дискретная случайная величина. Способы задания дискретной случайной величины, особенности ее функции распределения.

11. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее вероятностный смысл и свойства.

12. Математическое ожидание случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Функция от случайной величины. Свойства математического ожидания.

13. Дисперсия случайной величины, ее вероятностный смысл и формулы для вычисления. Свойства дисперсии.

14. Мода и медиана случайной величины. Центральный момент порядка s. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

15. Биномиальное распределение с параметрами n и p. Теорема о повторении независимых экспериментов. Основные числовые характеристики биномиального распределения.

16. Пуассоновское распределение с параметром a. Основные числовые характеристики пуассоновского распределения. Связь между биномиальным и пуассоновским распределениями. Закон редких явлений Пуассона.

17. Равномерное распределение на [а,b], функция равномерного распределения. Математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения. Вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной величины в заданный промежуток.

18. Показательное распределение с параметром l, функция показательного распределения. Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения. Вероятность попадания значений случайной величины в заданный промежуток.

19. Нормальное распределение с параметрами m и s. Интеграл Эйлера-Пуассона. Свойства плотности нормального распределения. Кривая Гаусса. Функция нормального распределения. Основные числовые характеристики нормального распределения.

20. Стандартное нормальное распределение, плотность и функция стандартного нормального распределения. Функция Лапласа и ее интегральное выражение. Свойства функции Лапласа.

21. Связь между функциями нормального распределения с параметрами m и s и стандартного нормального распределения. Вероятность попадания на интервал значений нормально распределенной случайной величины. Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины на симметричный относительно математического ожидания интервал. Правило “трех сигм”.

22. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева о связи между средним арифметическим большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий. Теорема Бернулли об устойчивости частот при постоянных условиях эксперимента. Теорема Пуассона об устойчивости частот при переменных условиях эксперимента.

23. Понятие о теореме Ляпунова. Интегральная и локальная формулы Муавра-Лапласа.

24. Двумерная случайная величина (система двух случайных величин). Совместная функция распределения вероятностей двумерной случайной величины, ее вероятностный смысл и свойства. Выражение функций распределения составляющих через двумерную функцию распределения.

25. Дискретное двумерное распределение, способы задания. Нахождение законов распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины.

26. Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины и её свойства. Выражение плотностей распределения составляющих через двумерную плотность.

27. Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины. Условные характеристики составляющих двумерной случайной величины. Независимые случайные величины. Условия независимости составляющих двумерной случайной величины.

28. Центр распределения двумерной случайной величины. Корреляционный момент системы двух случайных величин и его свойства. Некоррелированность случайных величин. Связь между независимостью и некоррелированностью.

29. Коэффициент корреляции и его свойства. Вероятностный смысл коэффициента корреляции.

30. Случайная функция. Случайный процесс. Сечения и реализации случайного процесса. Классификация случайных процессов.

31. Математическое ожидание, дисперсия, корреляционная и нормированная корреляционная функции случайного процесса. Свойства основных характеристик случайных процессов.

32. Стационарные случайные процессы. Марковский случайный процесс и цепи Маркова. Уравнения Колмогорова-Чепмена.

33. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд (сортированная выборка). Частота и относительная частота варианты. Статистические распределения для сортированной и группированной выборок. Полигон и гистограмма. Статистическая функция распределения вероятностей.

34. Оценка неизвестного параметра распределения по выборке. Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных статистических оценок.

35. Точечные статистические оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение. Методы их отыскания. Исправленная выборочная дисперсия.

36. Интервальные статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность (надежность) и доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины (количественного признака).

37. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Понятие о критериях согласия. Уровень значимости и порог испытания. Критерий согласия Пирсона.

38. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости случайных величин. Наилучшее приближение случайной величины в смысле метода наименьших квадратов (МНК). Линейная среднеквадратическая регрессия, методы определения параметров линейной регрессии двумерной выборки. Коэффициент регрессии. Выборочный коэффициент корреляции.

39. Постановка общей задачи математического программирования. Основная задача линейного программирования в канонической и стандартной формах. Допустимое множество. Оптимальное решение. Графоаналитический метод решения задачи линейного программирования.