ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 25. Краткие теоретические сведения. Содержание работы. Вариант 1.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 25

Тема:Решение задач с использованием свойств перпендикулярности плоскостей

Цель: использование свойств перпендикулярности плоскостей для решения задач.

Краткие теоретические сведения

Определение. Две плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°
Теорема(признак перпендикулярности двух плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойства перпендикулярных плоскостей:
Теорема. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Теорема. Если прямая, проведенная через точку одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.
Теорема. Если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Содержание работы

Вариант 1.

Задание 1.Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 1). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

Рис. 1

Задание 2.Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q₁.

Найдите P₁Q₁, если PQ = 15см., РР₁= 21,5 см., QQ₁= 33,5 см.

Рис. 2

Вариант 2.

Задание 1. Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 3). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 3