ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. Пример 1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

Если является функцией периодической, то естественно раскладывать ее в функциональный ряд также по периодическим функциям, например, по косинусам и синусам.

О п р е д е л е н и е

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

(1)

или, в более общем виде, ряд:

, (2)

где – постоянное число, а постоянные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ

На основе условий ортогональности Фурье получил формулы коэффициентов тригонометрического ряда (1), соответствующего функции :

; (3)

, ; (4)

, . (5)

Общие формулы коэффициентов Фурье -периодической функции :

; (6)

, ; (7)

, . (8)

Пример 1

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале формулой: (рис. 1).

-4π -3p -2p -p 0 p 2p 3p 4π x

Рис. 1

Решение.Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье :

т.к. .

Следовательно, ряд Фурье функции будет иметь вид

Так как функция удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности сумма ряда равна значению функции. В точках и сумма ряда равна нулю. На рис. 2 показаны графики: функции и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена. Из рисунка видно, как график частичных сумм ряда приближается к графику функции при увеличении членов суммы.