Контрольная работа

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Институт новых материалов и технологий

Кафедра «Металлургия железа и сплавов»

Оценка работы______________

Руководитель от УрФУ_________/Спирин Н.А.

Контрольная работа

2. На тему: «Оценивание с помощью доверительного интервала. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии»

Студент Д.В. Поздин

^{Подпись ФИО}

Группа НМТЗМ-102203

Идея оценивания с помощью доверительного интервала заключается в том, чтобы в окрестности точечной оценки попытаться построить такой интервал (доверительный интервал), который с некоторой, отличной от нуля, вероятностью (доверительной вероятностью) накрыл бы оцениваемый параметр распределения.

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Предположим, что для оценки параметра Q удалось найти две функции Q₁*(x₁, x₂, ..., x_n) и Q₂*(x₁, x₂, ..., x_n), такие, что при всех (x₁, x₂, ..., x_n) и при любых значениях Q выполняется условие:

(1)

Это означает, что действительное значение параметра Q находится в интервале значений (Q₁*;Q₂*) с вероятностью P. Интервал (Q₁*;Q₂*) называют доверительным интервалом для неизвестного параметра Q, а соответствующую ему вероятность P{Q₁*£Q£Q₂*} – доверительной вероятностью (или надежностью) P=1-a, где a - уровень значимости.

Для симметричного доверительного интервала его ширина 2d определяется условием:

(2)

где – точечная оценка параметра Q.

Утверждение P{Q₁*£Q£Q₂*} = P означает, что для данного доверительного интервала (Q₁*;Q₂*) вероятность содержать значение Q равна P.

Математическое ожидание M_x – среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины. Часто математическое ожидание называют момент 1-ого порядка.

Наилучшей точечной оценкой математического ожидания случайной величины Х с нормальным законом распределения является ее выборочное среднее арифметическое . Поэтому за основу построения доверительного интервала для математического ожидания обычно выбирается именно эта точечная оценка данного параметра. Задача получения интервальной оценки в этом случае заключается в поиске границ такого интервала, который с заданной доверительной вероятностью P_Mx накроет действительное значение математического ожидания M_x (рисунок 1).

При построении любой интервальной оценки, в том числе и для математического ожидания, необходимо знать распределение той точечной оценки (случайной величины), которая берется за основу для построения доверительного интервала.

В математической статистике доказано, что выборочное среднее арифметическое из n независимых результатов наблюдений случайной величины, распределенной нормально с параметрами M_x и σ_x², также подчиняется нормальному закону распределения с параметрами:

M( ) = M_x , (3)

σ²( ) = σ_x² /n. (4)

Дисперсия случайной величины σ_x² – математическое ожидание случайной величины (Х – M_x)² или центральный момент второго порядка.

При построении доверительного интервала для дисперсии используется случайная величина c² , которая имеет так называемое распределение Пирсона или c²–распределение ("хи-квадрат-распределение").

(5)

Плотность распределения случайной величины c² описывается уравнением

(6)

где Г(m/2) – гамма – функция; m – число степеней свободы (при построении доверительного интервала m = n-1).

Для построения доверительного интервала для дисперсии рассмотрим соотношение:

(7)

и с учетом (5) решим стоящее в скобках неравенство относительно s_x²:

, (8)

где — (9)

есть доверительный интервал для дисперсии s_x²с доверительной вероятностью P= P₂- P₁=1-a.