Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Измерение двугранного угла. Свойство 1.. Задача 1

Двугранный угол

Двухгранный угол - это фигура, образованная прямой l и двумя полуплоскостями с общей границей l.

Рис. 1

Обозначение. Двугранный угол (рис. 1) часто записывают так: ∠АMNВ.

MN - общая граница. Точка А лежит в одной полуплоскости α и точка В лежит в другой полуплоскости β.

Линейный угол двугранного угла

Линейный угол двугранного угла АMNВ строится следующим образом: выбирается точка О на общей границе l. Проводится перпендикуляр ОА к прямой l в плоскости α. Проводится перпендикуляр ОВ к l в плоскости β. Полученный угол АОВ является линейным углом двугранного угла, где АО ⊥ l, ВО ⊥ l.

Измерение двугранного угла

Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Свойство 1.

Плоскость линейного угла и прямая l перпендикулярны. l ⊥ АОВ

Доказательство

Так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО, то прямая l перпендикулярна плоскости АОВ.

Задача 1

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,

АС ⊥ АВ, АС ⊂ α,

BD ⊥ АВ, BD ⊂ β,

АВ = АС = ВD = а.

Найти: СD.

Рис. 2

Решение:

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит, АКВD– параллелограмм. Значит, АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DК перпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая DК перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Ответ: 2а.