Лекция Основные понятия алгебры логики Основные операции алгебры логики

Лекция Основные понятия алгебры логики Основные операции алгебры логики

Вопросы лекции:

1. Способы представления логических функций.

2. Варианты выражения логических функций в электрической схеме.

Английский математик Джордж Буль (1815-1864) разработал теорию логических построений, которая впоследствии названа его именем или как «алгебра логики». В основе этой теории лежит утверждение, что все логические построения могут содержать только два варианта «да» или «нет». Лагебра логики оперирует логическими функциями.

Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла.

Любую из этих функций можно представить в виде высказывания, выражения или в виде таблицы истинности, а также представить виде механических гидравлических, электрических или электронных схем.

Высказывание – это словесное описание функции или работы логического устройства. На описание выполняемого действия, должен быть, заложен ответ, имеющий только два значения «да» или «нет».

Таблица истинности представляет собой таблицу, в которой представлены значения аргументов и соответствующие им значения функции. Так как и аргументы и функция имеют только два значения «истина» и «ложь», то количество строк (наборов аргументов) в таблице определяется количеством переменных и равно 2^N, где N - количество переменных.

На основании таблицы истинности можно записать алгебраические выражения в виде формул, равенств. И уже на основе алгебраических выражений составить механические, гидравлические, пневматические, электрические и электронные схемы.

Логические функции могут быть представлены также в виде электронных элементов, простых электронных схем как, правило, микросхем или частей микросхем, о чём мы будем говорить на ближайших лекциях и виде релейно-контактных конструкций.

Активные элементы электронных схем: радиолампы, полупроводниковые диоды, и транзисторы могут находиться в трёх состояниях – отсечки (выключен - ток не проводит), линейный режим (проводит ток, но не максимального значения, применяется при усилении сигналов) и режим насыщения (полностью включён, проводит ток максимального значения). Для создания логических схем используются два режима работы: режим отсечки, как правило, соответствует логической «1» и режим насыщения, как правило, соответствует логическому «0».

Релейно-контактный эквивалент строится на электромагнитных реле, которые могут находиться только в двух состояниях: в сработавшем (реле под током) и в отпущенном (реле обесточено). Как известно реле состоят из: катушки с обмоткой из изолированного провода, сердечника, якоря, и контактной группы. Когда по обмотке течёт ток (реле под током) контактные группы переключаются в рабочее положение, и наоборот, когда обмотка обесточена контактные группы находятся в исходном положении. Если использовать контактную группу на переключение, имеющую нормально замкнутый и нормально разомкнутый контакты, то реле также можно применить для построения логических функций, принимая нормально разомкнутый замкнутый контакт за логическую «1» и нормально замкнутый контакт за логический «0».

Таблица 1 Основные логические операции:

Операция	Название операции	Таблица истинности	Алгебраическое выражение	Электронный эквивалент	Релейно-контактный эквивалент
Да	Буфферизация
Нет	Отрицание, инверсия
И	Логическое умножение, конъюнкция
ИЛИ	Логическое сложение, дизъюнкция
И-НЕ	Штрих Шеффера
ИЛИ-НЕ	Стрелка Пирса (функция Вебба)
Исключа-ющее ИЛИ	Сумма по модулю 2
	Эквивалент-ность (эквиваленция)

Логические элементы выполняют логическую функцию (операцию) с входными сигналами (операндами, данными).

На рис. 1 изображены некоторые наиболее часто встречающиеся логические функции: а - ИЛИ, б - И, в - НЕ, г - ИЛИ-НЕ, д - И-НЕ, е - равнозначность.

Рис. 1. Некоторые логические элементы

В этих условных графических обозначениях определены логические функции, но не отражены схемные решения этих функций. Цифровые устройства, которые строятся на логических функциях, в настоящее время выполняются на цифровых микросхемах – ЦИМС. ЦИМС выпускаются сериями. Цифровые микросхемы одной серии позволяют собирать логические схемы, не задумываясь о согласовании отдельных логических элементов по входным и выходным сопротивления, по величине напряжения питания, по величинам напряжений логических уровней. В настоящее время известны несколько частот применяемых логик: ЭСЛ – эмиттерно-связанная логика ТТЛ – транзисторно-транзисторная логика, ТТЛШ – транзисторно-транзисторная логика с диодами Шоттки, И²Л – интегрально инжекционная логика, КМОП – комплементарная метал окисел полупроводниковая логика.

Схемные решения

Схемные решения микросхем различных логик приведены на рис. 2.

Рис. 2. Схемные решения ЭСД, ТТЛ, И²Л, КМОП логик.

12 Следующая ⇒