Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Урок № 132

Тема:Уравнение cos(x) = a

Цель урока: рассмотреть и отработать навыки решения тригонометрических уравнений -

· решение уравнения для табличных значений

· арккосинус числа, простейшие тождества с арккосинусом

· решение уравнения sin x = a для произвольных значений

· решение простейших тригонометрических уравнений;

· решение уравнения вида

· решение уравнения вида ;

· вычисление значений арккосинуса числа.

Ход урока

1. Изучение нового материала

С этого урока мы начинаем изучать уравнения и неравенства, которые содержат косинус, синус, тангенс и котангенс переменной. Решение таких уравнений и неравенств - нахождение значений переменной по заданному значению косинуса, синуса, тангенса или котангенса.

Начнем мы изучение тригонометрических уравнений с уравнения
вида cos x = a.

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арккосинус числа m обозначают: .

1. Решение тригонометрического уравнения на первом этапе целесообразно выполнять с использованием тригонометрической окружности. Из рисунка видно, что при , таких точек нет, при , такая точка одна, при , таких точек две.

Так как является абсциссой точки М(α) координатной окружности, то для решения уравнения нужно сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу m, то есть точки пересечения окружности с прямой x=m. Если , то таких точек нет, если , то такая точка одна, если , то таких точек две.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой x = m с тригонометрической окружностью

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках: M(π/6) и N(-π/6).

Рисунок 2 – Решение уравнения

Точка M(π/6) соответствует всем числа вида .

Точка N(-π/6) соответствует всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

Ответ:

Чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, вводится понятие арккосинуса.

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арккосинус числа m обозначают:

Для

Если и , то .

Два простейших тождества для арккосинуса.

1. для любого m:

2. для любого α:

Из рисунка видно, что .

Рисунок 3 – Связь между и

Решением уравнения являются все числа вида

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Решите уравнение .

В ответ запишите наименьший положительный корень.

Решение:

При получаем .

При увеличении значений k значение первого корня будет отрицательным, а значение второго корня будет увеличиваться.

При уменьшении значений k значение первого корня будет увеличиваться, а значение второго корня будет отрицательным. Поэтому наименьшее положительное значение корня 1.

Ответ: 1

№2.Решите уравнение . Определите, сколько решений имеет это уравнение при: