Применение на практике.

Применение на практике.

На прошлом занятии мы уже познакомились с нахождением площади криволинейной трапеции ограниченной графиком функции f(x) и осями координат.

Теперь мы рассмотрим подробней нахождение площади фигуры, ограниченной несколькими функциями.

Теорема:Пусть функции y=f₁(x) и y=f₂(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f₁(x) ≤ f₂(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, f₁(x) и f₂(x) будет иметь вид

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f₁(x) и y=f₂(x)

Пример1. Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций и

Решение

Первое, что необходимо сделать, это выполнить чертеж.

Графиком функции является гипербола

Графиком функции является парабола

Выполним построение

Определим пределы интегрирования. Для этого нужно найти точки пересечения функций

Умножаем левую и правую часть уравнения на x

или

Корнем уравнения является 1, так как -1+4-2-1=0, следовательно, мы можем разложить на множители наше уравнение поделив кубическое уравнение на (x-1) /*подробно писать деление я не буду, те кто забыл, как это делается, может обратиться к учебникам или прошлым практическим занятиям, мы с вами уже это делали*/

После деления мы получаем:

Третий корень отрицательный, из рисунка мы понимаем, что он нам не подходит, так как мы ищем площадь фигуры G.

Из рисунка также видно, что парабола > гиперболы, следовательно при нахождении интеграла, мы из функции будем вычитать с найденными пределами интегрирования и