Внутривузовская олимпиада по математике, ТУСУР, 2020 год, 1 курс.

Внутривузовская олимпиада по математике, ТУСУР, 2020 год, 1 курс.

ЗАДАЧА 1. На графике при произвольном могут быть взяты 3 точки с абсциссами 0, , , через них проведена окружность. Найти минимально возможный диаметр окружностей, построенных таким способом.

ЗАДАЧА 2. На прямой при любом параметре есть точка, ближайшая к точке (С,0). Найти уравнение кривой, которую образуют все такие точки при .

ЗАДАЧА 3. Найти односторонний предел .

ЗАДАЧА 4. Найти, какую максимальную долю объёма может занимать прямой круговой конус, вписанный в шар радиуса .

ЗАДАЧА 5. Прямая является проекцией прямой на плоскость , а прямая является проекцией этой же прямой на плоскость . Найти параметр , при котором плоскости и ортогональны.

Решения задач

Задача 1. На графике при произвольном могут быть взяты 3 точки с абсциссами 0, , , через них проведена окружность. Найти минимально возможный диаметр окружностей, построенных таким способом.

Решение.

Пусть радиус равен

. Тогда расстояние от точки

до точек

равно

. По теореме Пифагора,

Найдём экстремум этой величины по .

= = 0 .

При этом = = , поэтому минимум, а не максимум.

Теперь найдём . = = = =

= = . Ответ. .

РЕШЕНИЕ. Пусть точка является ближайшей к (С,0). Тогда вектор , расположенный на прямой, перпендикулярен вектору, соединяющему точку с точкой , то есть вектору . Скалярное произведение векторов и равно 0, то есть . Отсюда можно найти абсциссу точки, которая является ближайшей к указанной. , . Тогда . Это параметрические уравнения кривой. Чтобы найти неявное уравнение кривой, нужно устранить зависимость от параметра, то есть выразить из одного уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения: , , .

= = =

тогда , , , выделим полный квадрат: , .

Таким образом, кривая, состоящая из точек, являющихся ближайшими к (С,0), есть окружность с центром в точке радиуса .

Чертёж:

ОТВЕТ. окружность с центром в точке радиуса .

ЗАДАЧА 3. Найти односторонний предел .

РЕШЕНИЕ.

= = =

= = .

Выражение в окрестности точки имеет положительно.

В правой полуокрестности верно , поэтому нужно вычислить

Разобьём на 2 множителя, предел одного из них вычисляется непосредственной подстановкой 0, второй с помощью эквивалентности бесконечно малых.

= =

= = = = = .

ОТВЕТ. .

РЕШЕНИЕ. Объём шара . Для вписанного в шар конуса, высота и радиус взаимосвязаны между собой. Расстояние от центра основания конуса до центра шара есть (см.чертёж - вид сбоку, на чертеже это ОС). Отрезок ВС на чертеже равен - радиусу основания конуса. Далее, по теореме Пифагора (ОС)²+(ВС)²= (ОВ)².

То есть, , следовательно, , ,

, . По известным формулам, объём конуса равен , а площадь основания , тогда , = . Найдём экстремум по .

, , .

Легко убедиться, что это именно максимум, так как вторая производная отрицательна: , при

получается = .

При этом значении объём конуса равен = = = = = .

Нужно найти отношение объёма конуса к объёму шара, поэтому поделим друг на друга объёмы этих тел: = = .

ОТВЕТ. .

Решение.Из строения знаменателей дробей этих канонических уравенений видно, что все направляющие векторы прямых совпадают.

Найдём уравнение плоскости , которая содержит проекцию, при произвольном , тогда при частный случай для плоскости .

Один из двух направляющих векторов этой плоскости известен:

. Точка

принадлежит прямой, являющейся проекцией. Точка

принадлежит той прямой, которая проецируется. Вектор

соединяет эти точки. Тогда плоскость, содержащая обе прямые, и проецируемую, и её проекцию (на чертеже эта плоскость расположена вертикально) имеет два образующих вектора:

. Их векторное произведение лежит в искомой плоскости (куда проецируется прямая) и является её вторым образующим вектором.

= = =

Итак, второй направляющий вектор плосокости: .

Теперь через точку и 2 направляющих и проведём плоскость.

Нормаль к плоскости : .

При получается нормаль к плоскости , а именно , можно сократить в 3 раза и рассматривать вектор . Осталось узнать, при каком векторы и ортогональны между собой.

Ответ. .