Ответ: r1=1,8 Ом; r2=0,6 Ом; r3=0,3 Ом.

Задача

Имея в своем распоряжении набор из проводов и резисторов, Саша и Маша собирали цепи. Саша собрал цепь из трех резисторов R₁= 1 Ом, R₂ = 3 Ом, R₃ = 6 Ом в виде треугольника, а Маша хочет собрать цепь в виде звезды (см. рисунок). Какие ей нужно взять резисторы, чтобы Машину звезду можно было включить вместо треугольника Саши?

Ответы округлите до десятых. Решение задачи должно сопровождаться рассуждениями и полными математическими выкладками.

Решение

1) Рассмотрение цепи-треугольника необходимо проводить с точки зрения прохождения тока через конкретные узлы, например, ток из узла 1 в узел 2, из узла 1 в узел 3 и из узла 2 в узел 3. Соответственно, рассчитывая общее сопротивление цепи тока через узлы, например, 1 и 2, получится, что резистор R₃ соединен параллельно с двумя последовательно соединенными резисторами R₁ и R₂. Таким образом, общее сопротивление можно рассчитать как:

По аналогии с узлами 1 и 2, для узлов 1 и 3 будет наблюдаться параллельное соединение резистора R₂ с последовательно соединенными резисторами R₁ и R₃, а для узлов 2 и 3 параллельно R₁ с последовательными R₂ и R₃. Общее их сопротивление будет равным соответственно:

2) Переходя к цепи-звезде можно видеть, что теперь в узлах 1 и 2 общее сопротивление составляется из последовательных сопротивлений резисторов r₁ и r₂. По аналогии с узлами 1 и 2, для узлов 1 и 3 и узлов 2 и 3 общее сопротивление равно сумме резисторов r₁ и r₃, а также r₂ и r₃ соответственно:

; ; .

3) Приравниваем общие сопротивления для соответствующих узлов в цепи-треугольнике и цепи-звезде:

; ;

4) Далее необходимо путем математических преобразований найти искомые выражения для r₁, r₂ и r₃. Так, для нахождения r₂ необходимо от r_{общ_(1-2)} отнять r_{общ_(1-3)} и прибавить r_{общ_(2-3)} с левой стороны и по аналогии с R – с правой:

В итоге получим:

Аналогичным с пунктом (4) образом (или с помощью иных математических преобразований) находим оставшиеся r₁ и r₃, которые будут равными:

;

5) Подставляя численные значения в получившиеся выражения для r₁, r₂ и r₃ получим, что Маше необходимо взять резисторы с сопротивлениями 1,8 Ом, 0,6 Ом и 0,3 Ом соответственно для r₁, r₂ и r₃.

Ответ: r1=1,8 Ом; r2=0,6 Ом; r3=0,3 Ом.