Определение:Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство:

ИлиПервообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играетпризнак постоянства функции:
Если

на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C,

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная. В этом утверждении сформулированыдва свойства первообразной 1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I; 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C

Таблица первообразных некоторых функций

Геометрический смысл первообразной

Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ

Примеры решения заданий

Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х³– 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х²– 1).

Решение:F'(x) = (х³– 3х + 1)′ = 3х²– 3 = 3(х²– 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).

Задание № 2 решить примеры после лекции