Приложения определенного интеграла

3. Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры

Определение. Фигура, ограниченная осью х, прямыми х=α, х=b (α<b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [α;b] функции y=f(x) называется криволинейной трапецией (рис.1а).

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.

Рассмотрим плоскую фигуру Ф, ограниченную прямыми а сверху и снизу графиками непрерывных на функций и таких, что для всех х из справедливо неравенство

Площадь S фигуры Ф вычисляется по формуле

(1)

В частности, для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке (а) получаем: (2)

А для фигуры, изображенной на рисунке (б), получаем:

(3)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

-2 0 2 х

Рис. 2.

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 2. Воспользовавшись формулой (2), получим:

Ответ:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис 3.

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 3. По формуле (1) получим:

Ответ:

Пример3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис.4.

Решение.

Построим прямую и параболу получим фигуру, площадь которой требуется вычислить (рис.4). Значит, где а пределы интегрирования α и b абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для отыскания этих абсцисс решим уравнение откуда

Ответ: S = 4,5.

Выполнить задания №№ 2,3,8 под (а)

ДЗ №№ 2,3,8 под (б)

Задания для самостоятельного решения

1.Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями: