Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Предельные теоремы.. Вычисление несобственных интегралов



2.Предельные теоремы.

Вычисление несобственных интегралов

Теорема 1. Если  и  – оригиналы, то .

Пример 1. Не находя оригинала , вычислить , если

.◄

Решение.Имеем

.

В дальнейшем будем считать, что все особые точки изображения  являются полюсами.

Теорема 2.Если в начале координат изображение регулярно или имеет простой полюс и все остальные полюсы изображения расположены в левой полуплоскости , то существует конечный предел  и при этом .

Пример 2.Найти , если .

Решение. Особыми точками изображения являются простые полюсы , , расположенные в начале координат и в левой полуплоскости . Поэтому

.◄

Теорема 3. Если все полюсы изображения находятся в левой полуплоскости , то сходится несобственный интеграл  и при этом .

Пример 3.Вычислить , если .

Решение. Особыми точками функции  являются полюсы второй кратности  с отрицательными вещественными частями. Следовательно,

.◄

Теорема 4. Если изображение  регулярно в начале координат; все полюсы изображения находятся в полуплоскости ; чисто мнимые полюсы, если они есть, являются простыми и , то сходится несобственный интеграл  и при этом .

Пример 4.Вычислить  (интеграл Дирихле).

Решение.Имеем . Функция  имеет два простых чисто мнимых полюса: ,  (что полностью согласуется с тем, что ).

Следовательно, 

.◄

       Пример 5.Вычислить .

Решение. Имеем . Так как полюсы функции  и  расположены в левой полуплоскости  и

,

в полном согласии с тем, что

,

.◄

Пример 6.Вычислить , если

, .

Решение. Особыми точками изображения являются простые чисто мнимые полюсы , . Так как

,

то по теореме 4

.◄

 По данным изображениям , не находя оригиналов, вычислить указанные величины:

1. , , .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

 
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.