Случайные события

Случайные события

(Бродский, глава 2)

2.1. Классическая вероятность

(185)

1. Игральный кубик бросают дважды. Какие значения суммы очков при двух бросках имеют наибольшую и наименьшую вероятность?

(186)

2. Есть пять отрезков диной 1, 3, 4, 7 и 9 см. Найдите вероятность того, что из трех наугад выбранных отрезков можно построить треугольник.

(189)

3. Рассматривается упрощенный вариант игры в спортлото. Случайно выбирают два шарика из урны, в которой находятся пять шариков, пронумерованных числами от 1 до 5. Игрок вычеркивает два числа на бланке.

Найдите вероятность того, что игрок:

a) угадает оба номера извлеченных шариков;

b) угадает лишь один номер;

c) угадает по крайней мере один номер.

d) Не угадает ни одного номера.

2.5. Случайные события и их вероятности

(133)

4. Выпущено 100 лотарейных билетов с 11 денежными выигрышами, из которых восемь – по 10 денежных единиц, два – по 50 денежных единиц один – 100 денежных единиц. Из купленных 25 билетов три выиграли по 10 денежных единиц и один выиграл 50 денежных единиц. Остальные остались без выигрыша. Найдите вероятность и относительную частоту события:

a) «купленный билет невыигрышный»;

b) «на приобретенный билет выпадает выигрыш 10, 50, 100 денежных единиц».

(198)

5. Известно, что 5% новорожденных мальчиков и 0, 25% новорожденных девочек страдают дальтонизмом. Предположим, что 50% процентов новорожденных – мальчики. Наугад выбирают одного новорожденного. Омечают его пол и наличие или отсутствие у него дальтонизма.

a) Постройте ПЭИ, соответствующее этому эксперименту.

b) Введите элементарные вероятности.

c) Найдите вероятность того, что новорожденный:

– мальчик и страдает дальтонизмом;

– девочка и страдает дальтонизмом;

– страдает дальтонизмом.

(199)

6. Два игрока играют серию партий, причем в каждой партии какой-то из игроков выигрывает очко. Шансы на выигрыш для каждого игрока одинаковы. Тот из игроков, который первым наберет 4 очка , получает приз. Игру вынуждены были прекратить в момент, когда первый игрок набрал 3 очка, а второй – 1 очко.

a) Постройте ПЭИ опыта, заключающегося в том, что игра доигрывается.

b) Введите элементарные вероятности p1, p2, …, pk. Проверьте, что

p1 + p2 + …+ pk = 1.

с) Выпишите все исходы, образующие события:

A – «игра закончилась победой первого игрока»,

B – «игра закончилась победой второго игрока»,

C – «для завершения игры понадобилось сыграть более одной партии»,

d) Вычислите вероятности этих событий.

e) Как следует разделить приз между игроками?

(200)

7. Два игрока обладают начальным капиталом в 3 и 2 единицы соответственно. Чтобы участвовать в одной партии, каждый должен поставить на кон 1 единицу своего капитала. Шансы на выигрыш для каждого игрока одинаковы. Выигрывающий партию забирает обе ставки. Игра продолжается до разорения какого-то игрока, но не более четырех партий.

a) Постройте ПЭИ этой игры.

b) Введите элементарные вероятности p1, p2, …, pk. Проверьте, что

p1 + p2 + …+ pk = 1.

с) Выпишите все исходы, образующие события:

A – «разорится первый игрок»,

B – «разорится второй игрок»,

C – «игра продлится не более трех партий»,

c) Вычислите вероятности этих событий.

2.8. Вероятность суммы событий

(143)

8. При многократном повторении двух выстрелов по мишени в среднем в 30% случаев было два, а в 50% – одно попадание. Найдите вероятность того, что имело место:

a) хотя бы одно попадание;

b) не более одного попадания.

(146)

9. Подбрасывают три монеты. Найдите вероятность выпадения не менее двух гербов.

(148)

10. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что:

a) сумма выпавших очков равна 4 или 11;

b) наступит хотя бы одно из двух событий: «на первом кубике выпало не менее трех очков», «на втором кубике – не менее двух очков».

(151)

11. Проводится опрос, связанный с улучшением работы службы быта. Каждый должен ответить на два вопроса;

2) Удовлетворены ли вы качеством ремонта техники?

3) Удовлетворяет ли вас срок выполнения заказа?

Оказалось, что 39% опрошенных положительно ответили на оба вопроса; 20% – положительно на первый и отрицательно на второй вопрос; 10% – отрицательно на первый и положительно на второй вопрос; 40 – отрицательно на оба вопроса. Найдите вероятность того, что наугад выбранный человек:

a) удовлетворен качеством ремонта;

b) удовлетворен качеством ремонта или сроком его выполнения;

c) не удовлетворен сроком выполнения ремонта.

12. Из цифр 0, 1, …, 9 выбирают одну, а из оставшихся – еще одну. Найдите вероятность того, что во второй раз будет выбрана нечетная цифра, если в первый раз была выбрана:

a) четная цифра;

b) нечетная цифра.

13. Для условия задачи 6 найдите вероятность того, что оба раза выбраны:

a) нечетные цифры;

b) четные цифры.

(212)

14. Игральный кубик налили свинцом так, что вероятностивыпадения каждой грани стали пропорциональными числу очков на них. Чему равна вероятность выпадения четного числа очков при одном броске кубика?

(213)

15. Продолжительные наблюдения показывают, что приблизительно 60% студентов первого курса математического факультета сдают с первой попытки экзамен по математическому анализу; 80% – по крайней мере один из двух экзаменов по математическому анализу и линейной алгебре; 50% – по обоим этим предметам. Чему равна вероятность того, что наугад выбранный студент сдаст экзамен с первой попытки по курсу линейной алгебры?

(214)

16. Сергей предлагает пари на условиях 1:3, что настанет событие А и пари на условиях 1:2, что настанет событие B. Он знает, что события A и B не могут произойти одновременно. На каких условиях он пойдет на пари, что произойдет по крайней мере одно из двух событий A или B?

(216)

17. В зрительном зале кинотеатра 9 рядов, пронумерованных подряд числами от 1 до 9, а в каждом ряду по 9 кресел, также пронумерованных числами от 1 до 9. Зритель наудачу занимает место. Какова вероятность того, что сумма номеров ряда и места в ряду окажется

a) четной;

b) нечетной?

2.9. Условные вероятности

(159)

18. На некотором предприятии 96% изделий считаются пригодными. Из пригодных изделий в среднем 75% составляют изделия первого сорта, остальные – второго сорта. Найдите вероятность того, что изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется второсортным.

(160)

19. В ящике десять красных и шесть синих пуговиц. Вынимают наудачу две пуговицы. Какова вероятность того что обе пуговицы будут:

a) красными;

b) синими?

(162)

20. По данным переписи населения в Англии и Уэльса (1891 г.) установлено, что темноглазые родители и темноглазые дети составляют 5% от общего количества обследованных лиц; темноглазые родители и светлоглазые дети – 7,9%; светлоглазые родители и темноглазые дети – 8,9%; светлоглазые родители и светлоглазые дети – 78,2%. Найдите связь между цветом глаз родителей и детей.

(163)

21. В техникуме обучается 500 студентов, причем известно, что 300 студентов изучают английский язык, 200 – французский язык, 50 – немецкий, 20 – английский и немецкий языки, 30 – французский и немецкий, 20 – английский и французский, 10 человек изучают все три языка. Какова вероятность того, что наугад выбранный студент изучает французский язык если:

a) он изучает английский язык;

b) он изучает английский и немецкий языки;

c) он не изучает ни английского, ни немецкого языка?

(164)

22. Число грузовых автомобилей, проезжающихся вдоль шоссе, на котором находится бензоколонка, относится к числу легковых автомобилей, проезжающихся вдоль того же шоссе, как 3:2. Известно, что в среднем один из 30 грузовых и 2 из 50 легковых автомобилей подъезжают к колонке для заправки. Чему равна вероятность того, что:

a) к бензоколонке подъедет грузовой автомобиль, и он будет заправляться;

b) к бензоколонке подъедет легковой автомобиль, и он будет заправляться;

c) автомобиль, который подъедет к бензоколонке, будет заправляться?

(165)

23. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Рабочий наугад по одной вынимает две детали. Найдите вероятность того, что:

a) вторая деталь окрашена, если первая окрашена;

b) вторая деталь окрашена, если первая не окрашена;

c) обе детали не окрашены;

d) обе детали окрашены;

e) вторая деталь окрашена;

f) первая деталь окрашена, если вторая оказалась окрашенной.

(166)

24. Следующий год для фирмы ожидается удачным с вероятностью 0.7. При условии, что год удачный, с вероятностью 0.9 ожидается выплата дивидендов. Однако, если год окажется неудачным, выплата дивидендов произойдет с вероятностью 0.2.

a) Найдите вероятность того, что год удачный и дивиденды выплачиваются.

b) Найдите вероятность того, что дивиденды выплачиваются.

c) Найдите условную вероятность того, что год удачный при условии, что дивиденды выплачиваются.

(167)

25. В ящичке десять красных и семь синих пуговиц. Вынимают наудачу последовательно без возвращения одну за другой три пуговицы. Какова вероятность того, что все пуговицы будут:

a) красными;

b) синими?

(219)

26. Два игрока играют в следующую игру. Есть кубик, развертка которого изображена на рисунке, и урна с пронумерованными шарами.

Выбирают число с помощью кубика (номер на верхней грани после броска кубика) или с помощью урны (номер наугад извлеченного шара). Начинающий игру получает право выбора прибора (кубик или урну). Побеждает тот кто выберет большее число. Что лучше выбрать: кубик или урну, если вам предложат начать игру?

(220)

27. В мае 20% дождливых дней. Продолжительными наблюдениями было подмечено, что некоторая футбольная команда в ясный день побеждает с вероятностью 0,4, а в дождливый – с вероятностью 0,7.

a) Найдите вероятность того, что в некоторый день мая будет дождь, и эта команда победит.

b) Какова вероятность того, что команда победит в наугад выбранный майский день?

c) Известно, что команда выиграла игру в мае. Какова вероятность того, что в этот день шел дождь?

(221)

28. Тест с выбором одного ответа из некоторых предложенных содержит для каждой задачи четыре вартанта ответа. Таким образом, если ученик знает правильный ответ, то для него вероятность правильного ответа равна 1; если он просто угадывает, то вероятность правильного ответа составляет 0,25. Старательный ученик знает знает 90% ответов, посредственный – лишь 50%.

a) Чему равна вероятность того, что старательный (посредственный) ученик ответил правильно на случайно выбранный ответ?

b) Старательный (посредственный) ученик правильно ответил на вопрос. Какова вероятность того, что он угадал ответ?

(222)

29. Группе лиц вручают четыре конверта, в каждом из которых помещено условие одной задачи. Группе предлагают открыть один конверт и постараться решить помещенную там задачу в течение 10 минут. Из предшествующего опыта известно, что вероятность того, что за 10 минут будет решена самая трудная задача, равна 0,1, а для других задач эти вероятности равняется 0,3; 0,5; 0.8.

a) Чему равна вероятность того, что будет открыт конверт с самой трудной задачей, и она будет решена за 10 минут?

b) Чему равна вероятность того, что за 10 минут будет решена задача из открытого конверта?

c) Группа справилась с задачей за установленное время. Какова вероятность того, что был открыт конверт с самой трудной задачей?

(223)

30. На протяжении длительного времени Анна заметила, что с вероятностью 0,55 она ходит в кино, если идет дождь, и с вероятностью 0,30, если дождя нет. Метеорологическая служба прогнозирует на следующий день дождь с вероятностью 0,4.

a) Какова вероятность того, что в этой день пойдет дождь, и Анна пойдет в кино?

b) Какова вероятность того, что Анна в этот день пойдет в кино?

c) Анна пошла в этот день в кино. Найдите вероятность того, что дождя не было.

(225)

31. В 1998 году палата представителей Конгресса США подготовила в свет видеозапись показаний Большому жюри президента Клинтона; его рейтинг одобрения был таким: 36% одобряли его как личность; 63% одобряли его как президента; 30% одобряли его как президента, но не как личность. Найдите процент людей, которые одобряли его как личность, но не как президента.

2.10. Независимые события

(168)

32. В урне лежит пять черных, четыре красных и три белых шара. Последовательно вынимают три шара, причем каждый шар возвращают в урну перед тем, как вынимать следующий. Найдите вероятность тог, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

(171)

33. Бросают два правильных игральных кубика. Пусть событие A означает, что «на первом кубике выпало четное число очков», B – «на втором кубике выпало нечетное число очков», C – «кубики упали однинаково». Будут ли события A, B, C:

a) попарно независимыми;

b) независимыми в совокупности?

(174)

34. Пусть U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6} – ПЭИ некоторого опыта. Пусть p1 = 1/8, p2 = 5/16, p3 = 1/16, p4 = 3/8, p5 = p6 = 1/16, где pi = P(ui), i = 1,2, …, 6. Пусть A = {u1, u4}, B = {u1, u2, u5}, C = {u1, u2, u3}. Будут ли события события A, B, C:

a) попарно независимыми;

b) независимыми в совокупности?

(176)

35. Устройство состоит из двух элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятности оказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найдите вероятность того, что:

a) будет работать только второй элемент;

b) откажут оба элемента;

c) будут работать оба элемента;

d) будет работать только один элемент;

e) откажет устройство, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

(227)

36. Необходимо разжечь костер при наличии двух спичек. Можно попробывать разжечь костер одной спичкой, а потом, если это не удалось, – второй, или обеими одновременно. Продолжительными наблюдениями замечено, что вероятность расжечь костер одной спичкой равна 0,7, а двумя одновременно – 0, 95. Какое решение оптимальное? Ответ обоснуйте.

(228)

37. Результаты экзаменов в некотором техникуме показали, что 8% студентов не смогли сдать экзамен по математике, 6% – по физике и 2% не сдали ни по математике, ни по физике. Будут ли события «наугад выбранный студент не сдал экзамен по математике» и «наугад выбранный студент не сдал экзамен по физике» независимыми?

(229)

38. Симметричную монету подбрасывают три раза. Будут ли независимыми события «при первом подбрасывании выпадает герб» и «выпадает не меньше двух гербов»?

(230)

39. Каждая из трех электрических схем состоит из четырех выключателей. Каждый из выключателей с вероятностью 0,5 может быть вкючен или выключен.

Выясните, для какой из схем, изображенных на рисунке, вероятность того, что ток будет проходить от точки A к точке B, будет наибольшей?

(231)

40. Каждая из двух электрических схем состоит из шести выключателей. Каждый из выключателей с вероятностью 0,5 может быть вкючен или выключен.

Выясните, для какой из схем, изображенных на рисунке , вероятность того, что ток будет проходить от точки A к точке B, будет наибольшей?

2.11. Формула полной вероятности

(178)

41. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике два белых и один черный шар, во втором – один белый и четыре черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

(179)

42. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

(180)

43. В школе 60% учащихся – мальчики. 80% мальчиков и 75% девочек имеют билеты на футбольный матч. Какова вероятность того, что наугад выбранный учащийся школы имеет билет на футбольный матч?

(181)

44. На трех дочерей – Веру, Надю и Любу – в семье возложена обязанность мыть посуду. Старшая дочь Вера выполняет 50% всей работы. Остальные 50% Надя и Люба делят между собой поровну. Когда Вера моет посуду, вероятность для нее разбитьхотя бы одну тарелку равна 0,01; для Нади и Любы эта вероятность соответственно равна 0,02 и 0,03. Какова вероятность, что при мытье посуды будет разбита по крайней мере одна тарелка?

(182)

45. Вероятность получения патента равна 0,6. Если патент будет получен, условная вероятность получения дохода от него составит 0,9. Однако, если патент не будет получен, условная вероятность получения дохода составит только 0,3. Найдите вероятность получения дохода.

12 Следующая ⇒