Параллелепипед

Прямоугольный паралелепипед

Для изучения сегодняшней темы поговорим о незаменимом помощнике каждого школьника –ластике.

На экране изображение:

Что можно сказать о форме ластиков? Что бы анализировать форму предметов было удобно, перенесем их на чертёж. Итак, первый ластик изобразим в форме фигуры в основании которой лежит прямоугольник, такой же прямоугольник и в верхней параллельной плоскости. Боковые грани прямоугольники, причём противоположные грани, равные прямоугольники. Получилась вот такая фигура. И нам она знакома –это параллелепипед. У второго ластика лишь одно отличие. Две боковых грани ластика параллелограммы. И это тоже параллелепипед. В чём же тогда фокус? Дело в том, что оба ластика действительно демонстрируют геометрическую фигуру параллелепипед, но разные его виды. Давайте разберемся в подробностях. Параллелепипед, ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У такого параллелепипеда все грани прямоугольники. Параллелепипед, ребра которого наклонены к плоскости основания, под острым углом, называется наклонным параллелепипедом. А прямой параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. На этом виде параллелепипеда мы и остановимся по подробней, так как это самая распространяя форма окружающих нас предметов. Посмотрите сами. Книги, блок от компьютера, микроволновая печь и многое другое.

На экране изображение:

На экране таблица

Параллелепипед

Прямой (ребра перпендикулярны основаниям)	Наклонный (ребра наклонены к плоскости основания под углом)
Прямоугольный (прямой параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник)

На экране изображение:

Прямоугольный параллелепипед обладает рядом свойств.

Свойство 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный параллелепипед АВСВA₁B₁C₁D₁. Его основаниями служат прямоугольники АВСD, A₁B₁C₁D₁, а боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ перпендикулярны основаниям, значит ребро ВВ₁ перпендикулярно ребру ВС и АВ, ребро DD₁перпендикулярно ребру АD и DС, то есть боковые грани параллелепипеда являются прямоугольниками. Что и требовалось доказать.

На экране текст: Свойство 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. На экране добавляется рисунок:

При этом грани параллелепипеда образуют двугранные углы. Рассмотрим двухгранный угол ADD₁C. Так как ребро DD1 перпендикулярно плоскости основания по определению прямоугольного параллелепипеда, значит ребра AD и DC перпендикулярны ребру угла и образуют линейный угол данного двухгранного угла. Но угол ADC по условию, значит и двухгранный угол ADD₁C также прямой. Аналогичное утверждение можно сформулировать для ещё одиннадцати двухгранных углов прямоугольного параллелепипеда. Значит, это свойство углов можно выделить как свойство номер 2. Итак свойство 2–все двухгранные углы прямоугольного параллелепипеда –прямые.

На экране изображение:

На экране под изображением текст: Свойство 2. Все двухгранные углы прямоугольного параллелепипеда –прямые

Для следующего свойства нужно вспомнить, что в пространстве прямоугольный параллелепипед характеризуется шириной, длиной и высотой. Длины этих трех ребер назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда

На экране изображение и текст:

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

В силу этих изменений, для основания длину и ширину можно назвать измерениями прямоугольника. И свойство диагонали прямоугольника сформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. Это утверждение было доказано ранее.

На экране изображение и текст:

Квадрат диагонали прямоугольника АВСD равен сумме квадратов двух его измерений.

А мы докажем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. То есть для параллелепипеда АВСВA₁B₁C₁D₁ докажем, что

. Мы уже сказали, что диагональ АС прямоугольника АВСD равна сумме квадратов ребер АВ и ВС, но диагонали прямоугольника равны, значит квадрат диагонали DB равен сумме квадратов ребер АВ и ВС. Ребро ВВ₁ по определению прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, значит перпендикулярно диагонали основания DB и треугольник прямоугольный. Значит, для треугольника справедлива теорема Пифагора. Квадрат диагонали

равен сумме квадратов катетов DB и

. Подставим в равенство значение диагонали DB и получим выражение. Что и требовалось доказать. Прямоугольники DD₁B₁B и АА₁С₁С равны, так как равны их стороны. Значит диагонали этих прямоугольников также равны, но они являются диагоналями прямоугольного параллелепипеда, следовательно справедливо утверждение – диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Это утверждение можно считать следствием доказанного свойства.

На экране текст: Свойство 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. На экране добавляется рисунок:

Дано: АВСВA₁B₁C₁D₁- прямоуг. паралле-д. Доказать:

На экране добавляется пункт 1)

1) DB²= АС²= (по свойству прямоугольника)

На экране добавляется пункт 2)

2) ВВ₁

DB DB₁²=DB²+BB₁².

На экране добавляется пункт 3) с анимацией последнего выражения.

На экране текст и изображение:

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Следует отметить, что прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом. Грани такого параллелепипеда равные квадраты.

На экране изображение и текст: Куб

Это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны (все ребра равные).

Рассмотрим применение доказанных свойств при решении задач. Задача первая. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см и 20 см. Найдите диагональ параллелепипеда. Построим указанный прямоугольный параллелепипед и обозначим его АВСВA₁B₁C₁D₁. Пусть диагональ ВС₁ равна 11 см, диагональ А₁В равна 19 см, диагональ DВ равна 20 см. Для удобства обозначим три измерения прямоугольного параллелепипеда буквами а,b,c. А искомую диагональ буквой d. Тогда по свойству квадрат диагонали

будет равен выражению. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника А₁АВ справедливо равенство По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника С₁СВ справедливо равенство По свойству прямоугольника АВСD справедливо равенство

Составим систему из полученных равенств. Почленно сложим эти равенства. Получили удвоенную сумму квадратов трех измерений параллелепипеда. А это есть диагональ

. После преобразований выражения получили, что диагональ равна 21 см.

На экране текст: Задача1. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см и 20 см. Найдите диагональ параллелепипеда. На экране изображение:

Дано: АВСВA₁B₁C₁D₁–пр. пар-д ВС₁ = 11 см, А₁В = 19 см, DВ = 20 см. Найти: D₁В

На экране выражение:

Решение: 1)

(по свойству прям. паралле-да)

На экране пункт 2)

2)А₁А AB Δ А₁АВ-прям-й A₁B²=a²+c²

На экране пункт 3)

3)С₁С BC ΔС₁СВ-прям-й C₁B²=b²+c²

На экране пункт 4)

4)ABCD–прямоугольник DB²=a²+b²

На экране пункт 5) с анимацией выхода элементов текста

2(a²+b²+c²)=19²+11²+20²

2 = ⟹ = =441⟹ =21 см.

Ответ: 21 см.

Задача 2. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСВA₁B₁C₁D₁, если АС₁=12 см и диагональ ВD₁ составляет с плоскостью грани АА₁D₁D угол в 30°, а с ребром DD₁– угол в 45°. Изобразим данный параллелепипед. Угол AD₁В равен 30°, так как угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и проекцией этой прямой в данной плоскости. Так как ребро АВ перпендикулярно грани АА₁D₁D, то ребро АD₁ проекция диагонали ВD₁, то угол AD₁В это угол между диагональю ВD₁ и гранью АА₁D₁D. Так как диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, значит диагональ ВD₁равна диагонали АС₁ и равна 12 см. Отрезок АВ равен 6 см, так как он лежит в прямоугольном треугольнике D₁AB против угла 30 градусов и равен половине гипотенузы 12 см. Треугольник BDD₁ также прямоугольный, а косинус 45 градусов равен отношению прилежащего катета D₁D к гипотенузе ВD₁, то катет DD₁ равен 12 косинусов 45 градусов и равен шести корням из двух. Нужно заметить ,что этот треугольник равнобедренный и сторона BD равна стороне DD₁. Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора получим, катет AD равен квадратному корню из разности квадрата гипотенузы BD и катета АВ и равен 6 см. Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде АВСВA₁B₁C₁D₁измерения равны 6см, 6см, и 6 корней из двух см.

На экране текст: Задача 2. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСВA₁B₁C₁D₁, если АС₁=12 см и диагональ ВD₁ составляет с плоскостью грани АА₁D₁D угол в 30°, а с ребром DD₁– угол в 45°. На экране изображение: