Основные свойства неопределенного интеграла

. Основные свойства неопределенного интеграла

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;

5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

;

6. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

;

7. Если , u=j(x), то .

Замечание.

1. . 2. . 3. .

Таблица интегралов

Пользуясь таблицей производных основных элементарных функций, несложно составить аналогичную таблицу неопределенных интегралов.

0. ;	1. ;
2. , n¹-1; 2а.	3. ;
4. ;	5. ;
6. ;	7. ;
8. ;	9. ;
10. ;	11. ;
12. ;	13. ;
14. ;	15. ,

где u - функция аргумента x.

Метод замены переменной

Одним из основных при интегрировании функций является метод замены переменной, определяемый соотношением

, (1)

в котором – дифференцируемая функция, определенная на некотором промежутке так, что существует сложная функция . Равенство (1) понимается в том смысле, что результат вычисления интеграла и подстановки в полученное выражение функции совпадает с результатом непосредственного вычисления интеграла в правой части равенства (1).

Метод интегрирования по частям

Если функции u(x) и v(x) - дифференцируемы, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

(2)

Случай 1. = .

Случай 2. = .

Случай 3. Циклические интегралы (разбиение произвольное).

= или .

При вычислении интегралов с помощью метода интегрирования по частям возможны несколько исходов:

1) метод применяется один раз;

2) формула (2) применяется “n” раз;

3) при применении формулы (2) несколько раз в правой части получаем интеграл такой же, как в левой, т.е. получаем уравнение с одним неизвестным, где в роли неизвестного выступает искомый интеграл. Решив это уравнение, интеграл находится.