Контакты

Случайная статья

Производная и дифференциал функции

Производная и дифференциал функции

Опрос.

1. Дать определения частных производных функции по х и по у и записать символами.

2. Пояснить геометрический смысл частных производных функции .

3. Дать определение и записать формулы для вычисления частных дифференциалов функции по х и по у.

4. Дать определение и записать формулу для вычисления полного дифференциала функции dz.

Найти частные производные указанных функций.

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция.

а)

Решение.

Найдём частные производные функций

Подставим полученные выражения в уравнение:

б)

Найти полный дифференциал функций:

1.

2.

3.

4.Найти значение полного дифференциала функции z = y/x при x = 2, y = 1,

dx = 0,1; dy = 0,2.

1. Производная функции в направлении

Общая формула:

Определение:

Градиентом функции в точке называется вектор координаты, которого равны соответственно частным производным и , взятым в точке .

№ 4. Найдите производную функции в точке по направлению, образующему с направлением оси угол .

, т.е.

тогда

№ 2. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью OX угол .

; ; .

№ 3. Найти производную по направлению от точки (3,1) к точке (6,5) от функции .

№ 4. Найти производную функции в точке в направлении градиента функции.

Р е ш е н и е:

В данном случае вектор совпадает с в точке и равен

, , тогда

Замечание.

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке в направлении градиента, имеет наибольшее значение, равное:

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.