Повторение теории, перпендикулярность плоскостей

Повторение теории, перпендикулярность плоскостей

Определение.Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Имеем плоскости α и β, которые образуют двугранный угол. l – ребро двугранного угла (рис. 3). Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку О на ребре l. Проведем прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α и прямую ВО перпендикулярно ребру l в плоскости β. Тогда, ∠ВОА – линейный угол двугранного угла. Если ∠ВОА =90°, то плоскости α и β перпендикулярны.

Рис. 3

Признак перпендикулярности плоскостей

Пусть, прямая ОА перпендикулярна плоскости β и ОА лежит в плоскости α. Тогда плоскости α и β перпендикулярны.

Следствие из признака

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β (рис. 4).

Рис. 4

Доказательство

Прямая l перпендикулярна плоскости γ по условию, но плоскость α проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Плоскость β также проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости β. Следствие доказано.

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

Свойство

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру и граням своего двугранного угла.

Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то его плоскость перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рис. 5

Рассмотрим рисунок 5. Мы имеем плоскость α и плоскость β. Они пересекаются по прямой l. Из точки О проводим прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α. Из точки О в плоскости β проводим вторую прямую ВО перпендикулярно к ребру l. Получаем линейный угол двугранного угла – угол ВОА. Обозначим плоскость ВОА за γ.

Тогда, плоскость линейного угла γ перпендикулярна прямой l, так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО из плоскости γ по построению. Также через перпендикуляр l к плоскости γ проходит плоскость α, значит, по признаку α ⊥ γ. Аналогично, β ⊥ γ.

Задача 2

Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5 DВ = .

Дано: АВСD – тетраэдр.

∠DАВ = ∠DАС = ∠АСВ = 90°.

АС = СВ = 5, DВ = .

Найти: ∠ (АВСD)

Рис. 6

Решение:

Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.

Тогда АС - это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Выразим косинус угла АСD.

Тогда

Ответ: .