Задание 1 № 406563. Решение.. Задание 2 № 406675. Решение.. Задание 3 № 406564. Решение.. Задание 4 № 406565. Решение.. Задание 5 № 367694. Решение.. Задание 6 № 203743. Решение.. Задание 7 № 314800. Решение.. Примечание.

1. Задание 1 № 406563

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета.

Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите числа, соответствующие номерам месяцев, без пробелов, запятых и других дополнительных символов (например, для месяцев май, январь, ноябрь, август в ответе нужно записать

число 51118).

Мобильный интернет	2,5 Гб	3 Гб	3,25 Гб	1 Гб
Номер месяца

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

• пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;

• пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;

• пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;

• безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 Гб
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

Решение.

Пунктирной линей на графике показан трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных за каждый месяц года.

Из рисунка видно, что 2,5 Гб было потрачено в первый месяц, 3 Гб — потрачено в шестой, 3,25 Гб — в десятый, 1 Гб — в седьмой.

Ответ: 16107.

2. Задание 2 № 406675

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику израсходованных минут и гигабайтов.

ПЕРИОДЫ		ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) январь−февраль Б) февраль−март В) август–сентябрь Г) ноябрь–декабрь		1) Расход минут увеличился, а расход гигабайтов уменьшился. 2) Расход гигабайтов увеличился, а расход минут уменьшился. 3) Расход минут увеличился, и расход гигабайтов увеличился. 4) Расход минут уменьшился, и расход гигабайтов уменьшился.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

Решение.

Пунктирной линей на графике показан трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных за каждый месяц года, а сплошной линей — количество минут исходящих вызовов.

За период январь−февраль расход минут увеличился, и расход гигабайтов увеличился.

За период февраль−март расход минут уменьшился, и расход гигабайтов уменьшился.

За период август–сентябрь расход гигабайтов увеличился, а расход минут уменьшился.

За период ноябрь–декабрь расход минут увеличился, а расход гигабайтов уменьшился.

Таким образом, получается соответствие: А — 3, Б — 4, В — 2, Г — 1.

Ответ: 3421.

3. Задание 3 № 406564

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?

Решение.

По рисунку видно, что за июнь абонент потратил 3 Гб интернета, 325 минут исходящих вызовов, и в условии сказано, что за год отправил 110 СМС.

Количество потраченного интернета и СМС не превысило это количество в пакете тарифа, а исходящих вызовов сверх пакета было потрачено минут.

Вычислим стоимость услуг связи, потраченных абонентом в июне:

рублей.

Ответ: 425.

4. Задание 4 № 406565

Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?

Решение.

Сплошной линей на графике показано количество минут исходящих вызовов, израсходованных за каждый месяц года.

Из рисунка видно, что в третьем месяце было потрачено 150 минут, что является наименьшим количеством за 2019 год.

Ответ: 150.

5. Задание 5 № 367694

Компания выбирает место для строительства торгово‐развлекательного комплекса: на месте квартала старых одноэтажных домов в центре города или на окраине города. Стоимость прокладки 1 метра коммуникаций равна 6000 рублей. В аренду планируется сдавать 4000 м² площади комплекса. Стоимость земли, цена строительства комплекса с учётом сноса старых зданий и предполагаемая стоимость сдачи даны в таблице.

Место	Цена земли (млн руб.)	Цена строительства (млн руб.)	Длина коммуникаций (м)	Стоимость аренды за 1 м² (руб./месяц)
Центр	64,4
Окраина	11,2

Обдумав оба варианта, компания выбрала местом для строительства центр города. Через сколько месяцев после начала сдачи в аренду торговых площадей построенного комплекса более высокая стоимость аренды компенсирует разность в стоимости земли, строительства и прокладывания коммуникаций? Ответ округлите до целых.

На плане (см. рисунок) изображён район города, в котором живёт Петя. Сторона каждой клетки на плане равна 10 м.

Дом, в котором живёт Петя, обозначен цифрой 6. Прямо напротив дома, где живёт Петя, через дорогу находится дом в форме буквы «Г», где живёт его друг Вася. Рядом с домом, где живёт Петя, расположен дом, где живёт одноклассница Таня, а напротив него через дорогу имеется здание банка площадью 600 м². А с другой стороны дома, где живёт Таня, расположен детский сад. Недалеко от детского сада и дома, где живёт Петя, находится магазин. Также имеется автобусная остановка, обозначенная цифрой 4, а в десяти метрах от неё — квартал старых одноэтажных домов.

Решение.

Стоимость постройки ТРК в центре города равна

рублей.

Стоимость постройки ТРК на окраине города равна

рублей.

Разница в стоимости составляет

рублей.

Разница в стоимости аренды составляет

рублей.

Значит, более высокая стоимость аренды компенсирует разность в стоимости земли, строительства и прокладывания коммуникаций через 34,5 месяцев. Округляя, получаем ответ — 35 месяцев.

Ответ: 35.

6. Задание 6 № 203743

Запишите в ответе номера выражений, значения которых положительны.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение.

Найдём значения выражений:

Таким образом, искомое выражение указано под номером 3.

7. Задание 7 № 314800

На координатной прямой отмечены числа а и b. Какое из следующих утверждений неверно?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Заметим, что и , и проверим все варианты ответа:

1) , значит, — верно.

2) — верно.

3) — верно, поскольку , а

4) — неверно.

Неверным является утверждение 4.

Примечание.

Нетрудно заметить, что справедливо неравенство:

8. Задание 8 № 341704

Найдите значение выражения при a = 7,7.

Решение.

Упростим выражение:

Подставим в полученное выражение значение

Ответ: 0,66.

9. Задание 9 № 338610

Решите уравнение

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −6.

10. Задание 10 № 325541

Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение.

Вероятность того, что стрелок промахнётся равна 1 − 0,8 = 0,2. Вероятность того, что стрелок первые два раза попал по мишеням равна 0,8² = 0,64. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала два раза попадает в мишени, а третий раз промахивается равна 0,64 · 0,2 = 0,128.

Ответ: 0,128.

11. Задание 11 № 193089

Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.

Решение.

Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому откуда Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому Тем самым, уравнение параболы принимает вид Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:

Верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2.

12. Задание 12 № 338396

Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.

Решение.

Найдем расстояние, на котором находится наблюдатель от места удара молнии:

Ответ: 3.

13. Задание 13 № 311312

Решите неравенство .

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Решим данное неравенство:

. Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если его сомножители имеют одинаковый знак.

В данном случае это выполняется при следующих значениях :

1) ;

2) ;

Решением неравенства будет являться объединение этих промежутков: , что соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1

14. Задание 14 № 394426

Давление воздуха под колоколом равно 625 мм ртутного столба. Каждую минуту насос откачивает из-под колокола 20% находящегося там воздуха. Определите давление (в мм рт. ст.) через 5 минут после начала работы насоса.

Решение.

Через минуту давление воздуха (в мм рт. ст.) под колоколом станет через две минуты — ..., через 5 минут давление станет или

мм рт. ст.

Ответ: 204,8.

15. Задание 15 № 348371

Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 44 и HD = 11. Найдите площадь ромба.

Решение.

Заметим, что сторона ромба AB = AD = AH + HD = 44 + 11 = 55.

Из прямоугольного треугольника ABH найдем BH по теореме Пифагора:

Площадь ромба можно найти как произведение основания на высоту:

Ответ: 1815.

16. Задание 16 № 339975

Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Найдём

Ответ: 10.

17. Задание 17 № 324017

Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

Решение.

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Учитывая, что и получаем Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, следовательно, треугольники и равны, откуда то есть высота Найдём площадь ромба как произведение стороны на высоту:

Ответ: 18.

18. Задание 18 № 311485

На квадратной сетке изображён угол . Найдите .

Решение.

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH — прямоугольный. Таким образом,

Ответ: 3.

19. Задание 19 № 341676

Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2) Смежные углы равны.

3) Все диаметры окружности равны между собой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

1) «Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует» — верно, большая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других.

2) «Смежные углы равны» — неверно, смежные углы и связаны соотношением: .

3) «Все диаметры окружности равны между собой» — верно.

Ответ: 13.

20. Задание 20 № 311591

Решите уравнение:

Решение.

Перенесем все члены влево и применим формулу разности квадратов:

Другой способ. Раскроем скобки, пользуясь формулой квадрата разности:

Ответ: 1.

21. Задание 21 № 314507

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.

Решение.

Пусть скорость пешехода — x км/ч, , тогда скорость велосипедиста равна (x + 11) км/ч.

Составим таблицу по данным задачи:

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Пешеход
Велосипедист

Так как по пути велосипедист сделал остановку на ч., составим уравнение:

Корень −22 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч.

22. Задание 22 № 353274

Постройте график функции . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение.

График данной функции — это график параболы отрицательная часть которого отражена относительно оси Этот график изображён на рисунке:

Прямая, параллельная оси абсцисс задаётся формулой где — постоянная. Из графика видно, что прямая может иметь с графиком функции не более четырёх общих точек.

Ответ: 4.

23. Задание 23 № 333321

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 10, DC = 25, AC = 56 .

Решение.

Углы и равны как накрест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны по двум углам.

Значит, Следовательно,

Откуда

Ответ: 40.

24. Задание 24 № 349626

Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда Отношение радиусов равно отношению диаметров.

25. Задание 25 № 311708

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.

Решение.

Так как биссектриса острого угла A прямоугольного треугольника ABC не может быть перпендикулярна BC, то биссектриса угла A и серединный перпендикуляр к BC имеют ровно одну общую точку.

Пусть N — середина BC. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает меньшую дугу BC в точке L (см. рисунок), тогда точка L является серединой этой дуги, ⌣BL = ⌣LC. Но тогда как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса . Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой . Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.

Пусть . Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому , то есть , откуда Так как точки K и L совпадают,

Ответ: 25°.