Решение.. Задание 12 № 311920. Решение.. Задание 13 № 352671. Решение.. Задание 14 № 394424. Решение.. Примечание.

Решение.

Если прямая задана уравнением то при функция возрастает, при — убывает. Значению соответсвует значение функции в точке Таким образом, графику A соответствуют коэфициенты 2, Б − 1, В − 4.

Ответ: 214.

12. Задание 12 № 311920

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/c² ) можно вычислить по формуле где — угловая скорость (в с⁻¹), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние R (в метрах), если угловая скорость равна 3 с⁻¹, а центростремительное ускорение равно 45 м/c².

Решение.

Выразим радиус окружности: Подставим значения переменных и

Ответ: 5.

13. Задание 13 № 352671

На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

Решение.

Решим неравенство:

Ответ: 3.

14. Задание 14 № 394424

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.

Решение.

Количество ран составляет геометрическую прогрессию с первым членом вторым членом а значит, знаменатель геометрической прогрессии Найдем сумму членов геометрической прогрессии:

По условию, эта сумма равна 65 535. Чтобы узнать количество ран, необходимо найти количество членов прогрессии n:

Ответ: 16.

Примечание.

Это задание взято из учебника математики 1795 года «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (цит. по Я. И . Перельман «Занимательная алгебра»).

15. Задание 15 № 323937

Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Решение.

Пусть a сторона ромба, h — его высота. Все стороны ромба равны, поэтому Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту:

Ответ: 3.

16. Задание 16 № 350606

На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Ответ: 63.

17. Задание 17 № 324117

Периметр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Решение.

Проведём высоту в ромбе и введём обозначения, как показано на рисунке. Все стороны ромба равны, поэтому Найдём из прямоугольного треугольника

Найдём площадь ромба как произведение стороны на высоту:

Ответ: 420,5.

18. Задание 18 № 349071

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Решение.

Посчитаем количество клеток внутри закрашенной области: их 10.

Ответ: 10.

19. Задание 19 № 401818

Какие из следующих утверждений верны?

1) Все высоты равностороннего треугольника равны.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3) В любой ромб можно вписать окружность.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Все высоты равностороннего треугольника равны» — верно, так как в равностороннем треугольнике все высоты равны между собой.

2) «Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу» — неверно, так как угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

3) «В любой ромб можно вписать окружность» — верно, так как суммы противоположных сторон ромба равны.

Ответ: 13.

20. Задание 20 № 341340

Решите систему уравнений

Решение.

Преобразуем систему уравнений:

откуда получаем решения системы уравнений : (2; −1) и (2; 1).

Ответ: (2; −1); (2; 1).

21. Задание 21 № 352780

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 33 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 22 минуты после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение.

Пусть — скорость мотоциклиста, — скорость велосипедиста. Примем расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 22 минуты, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 33 минуты раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:

Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна , а время, затраченное на весь путь равно

Ответ: 1,1.

22. Задание 22 № 314804

Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Упростим выражение для функции:

(при ).

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой

Построим график функции (см. рисунок).

Заметим, что прямая проходит через начало координат и будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку только тогда, когда будет проходить через выколотую точку Подставим координаты этой точки в уравнение прямой и найдём коэффициент

Ответ: −4.

23. Задание 23 № 339487

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

Решение.

Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Используя равенство найдём

Ответ: 15.

24. Задание 24 № 352846

Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и , причём точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите, что прямые и перпендикулярны.

Решение.

Проведём медиану QM. Стороны KQ и LQ равны как радиусы окружности, поэтому треугольник KLQ — равнобедренный, следовательно, медиана QM является также высотой. Проведём медиану PM. Стороны KP и LP равны как радиусы окружности, поэтому треугольник KLP — равнобедренный, следовательно, медиана PM является также высотой. Прямые QM и PM перпендикулярны одной и той же прямой KL, следовательно, они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку M, значит, они совпадают. Таким образом прямая KL перпендикулярна прямой PQ.

25. Задание 25 № 340054

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:

Следовательно, Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно равно следовательно, треугольники равны, откуда Прямые и перпендикулярны прямой поэтому они параллельны, равно , следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда Рассмотрим выражение для отрезка

Получаем систему уравнений на отрезки и

Рассмотрим треугольники и углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

Высота Значит, искомое расстояние

Ответ: 1,8.

⇐ Предыдущая 12