Казахская головная архитектурно-строительная академия

Казахская головная архитектурно-строительная академия

Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 1-ый семестр

Лекция № 9. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. 2011-2012 уч.г.

Ассоц. профессор Сыдыкова Дамелькан Какеовна

Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой =N и ЕÌR.

Она обозначается символом , где , или короче, . Число , зависящее от n, называется n –ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.

Примеры:а) Последовательность являет ся постоянной и состоит из равных чисел (единиц): ; б) . Для неё в) г) .

Определение. Число а, называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .

Соответствующее обозначение .

Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа анайдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 9.2). Это все или некоторые из членов .

x₁x₂ x_N₊₁ a x_N₊₂x_N x₃

Определение. Число А называется пределом функции при , если . (Обозначается ).

Первый замечательный предел .

Пример. .

Второй замечательный предел

Здесь е»2,718282… – иррациональное число.

Пример. Вычислим предел

Задание на СРС

1. Теоремы о бесконечно малых и о пределах функций. (конспект, по графику) [1,3,4].

2. Решение задач по теме [ 2. ИДЗ-5.1-5.2 стр. 166 ].

Задание на СРСП

1. Вычисление пределов функций.

Контрольные вопросы:

1. Определение числовой последовательности и ее предела, функции.

2. Какие последовательности называются ограниченными, монотонными?

3. Действия над последовательностями и функциями, виды неопределенностей.

1. Множество, где функция убывает, есть А. ; В. ; С. ; Д.

2. Вычислить предел А. ; В. 2; С. 1; Д.

3. Вычислить предел А. ; В. 1; С. ; Д. 2

4. Вычислить предел последовательности А. 3; В. ; С. 5; Д. 0

5. Найти предел функции при x→3 А. 1; В. 0; С. ; Д. 2

6. Найти точку разрыва функции А. -2; В. 2; С. 0; Д. 1

7. Найти область определения функции А. ; В. (-4; 4); С. ; Д. ( )

8. . Вычислить предел А. 1; В. 0; С. 2; Д.

9. Вычислить предел функции А. ; В. ; С. 3; Д.

10. Вычислить предел А. ; В. ; С. ; Д.

11. Вычислить предел А. 2; В. 1; С. ; Д. 0

12 Вычислить предел А. 2; В. -2; С. 4; Д. 0

Список литературы:

Основная:

Бугров Я.С., Никольский С. М., Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1999
А.Т. Рябушко Сборник индивидуальных заданий по высшей математике часть 1.,2002г.

3. К. Кабдыкаир. Курс математики. Алматы, 2005.

Дополнительная:

4. В.Е. Шнейдер и д.р. Краткий курс высшей математики. 2001

5. Д.В. Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии. 2000

6. Д.К.Сыдыкова. Математика-1. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС, Алматы, 2008